Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15074
2021-03-26 
Электрон влетает в постоянное однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$ (рис.) и в точке А имеет скорость $\vec{v}$, образующую с направлением поля угол $\alpha$. Описав один виток винтовой линии, электрон оказывается в точке С. Чему равно расстояние АС?
Решение:
Движение электрона по винтовой линии можно рассматривать как суперпозицию (сумму) двух движений: вдоль оси, совпадающей с направлением вектора $\vec{B}$, и в плоскости, перпендикулярной этому направлению. В нашем случае вектор скорости $\vec{v}$ лежит в плоскости рисунка, поэтому проекция скорости электрона вдоль горизонтальной оси $x$ равна $v_{x} = v \cos \alpha$, а в плоскости, перпендикулярной оси $x$, составляет $v_{ \perp} = v \sin \alpha$. Очевидно, что вдоль горизонтальной оси электрон будет двигаться прямолинейно и равномерно со скоростью $v_{x}$, а в перпендикулярной плоскости - по окружности с линейной (окружной) скоростью $v_{ \perp}$.
Уравнение движения электрона по окружности имеет вид
$\frac{mv_{ \perp}^{2}}{R} = e v_{ \perp}B$,
где $m$ и $e$ - масса и заряд электрона, а $R$ - радиус окружности. Время, через которое электрон окажется в точке С, равно периоду обращения электрона:
$\tau = T = \frac{2 \pi R}{v_{ \perp} } = \frac{2 \pi m}{eB}$.
За это время электрон сместится по горизонтали на искомое расстояние АС (шаг винтовой линии):
$AC = v_{x}T = \frac{2 \pi v_{x} }{ \frac{e}{m}B } = \frac{2 \pi v \cos \alpha }{ \frac{e}{m}B }$,
где $\frac{e}{m}$ - удельный заряд электрона.
Сделаем несколько замечаний.
1) Из уравнения движения электрона по окружности следует, что радиус круговой орбиты частиц с удельным зарядом $\frac{q}{m}$ в однородном магнитном поле $\vec{B}$ равен
$R = \frac{v_{ \perp} }{ \frac{q}{m}B }$.
При постоянных значениях $\frac{q}{m}$ и $v_{ \perp}$ радиус кривизны траектории заряженной частицы обратно пропорционален величине индукции магнитного поля. Для удержания заряженных частиц высоких энергий в ограниченном объеме используют специальную конфигурацию магнитного поля. Такие устройства называют магнитными ловушками.
2) Из выражения для периода обращения следует, что частота обращения заряженной частицы в постоянном магнитном поле $\vec{B}$ в плоскости, перпендикулярной полю, пропорциональна удельному заряду частицы и индукции поля:
$\nu_{c} = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \pi } \frac{q}{m} B$.
В теории плазмы эту частоту называют циклотронной частотой. Например, для электронов земной ионосферы, находящихся в магнитном поле Земли, $\nu_{c} = 1,4 \cdot 10^{6} Гц$.
Электрон влетает в постоянное однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$ (рис.) и в точке А имеет скорость $\vec{v}$, образующую с направлением поля угол $\alpha$. Описав один виток винтовой линии, электрон оказывается в точке С. Чему равно расстояние АС?
Решение:
Движение электрона по винтовой линии можно рассматривать как суперпозицию (сумму) двух движений: вдоль оси, совпадающей с направлением вектора $\vec{B}$, и в плоскости, перпендикулярной этому направлению. В нашем случае вектор скорости $\vec{v}$ лежит в плоскости рисунка, поэтому проекция скорости электрона вдоль горизонтальной оси $x$ равна $v_{x} = v \cos \alpha$, а в плоскости, перпендикулярной оси $x$, составляет $v_{ \perp} = v \sin \alpha$. Очевидно, что вдоль горизонтальной оси электрон будет двигаться прямолинейно и равномерно со скоростью $v_{x}$, а в перпендикулярной плоскости - по окружности с линейной (окружной) скоростью $v_{ \perp}$.
Уравнение движения электрона по окружности имеет вид
$\frac{mv_{ \perp}^{2}}{R} = e v_{ \perp}B$,
где $m$ и $e$ - масса и заряд электрона, а $R$ - радиус окружности. Время, через которое электрон окажется в точке С, равно периоду обращения электрона:
$\tau = T = \frac{2 \pi R}{v_{ \perp} } = \frac{2 \pi m}{eB}$.
За это время электрон сместится по горизонтали на искомое расстояние АС (шаг винтовой линии):
$AC = v_{x}T = \frac{2 \pi v_{x} }{ \frac{e}{m}B } = \frac{2 \pi v \cos \alpha }{ \frac{e}{m}B }$,
где $\frac{e}{m}$ - удельный заряд электрона.
Сделаем несколько замечаний.
1) Из уравнения движения электрона по окружности следует, что радиус круговой орбиты частиц с удельным зарядом $\frac{q}{m}$ в однородном магнитном поле $\vec{B}$ равен
$R = \frac{v_{ \perp} }{ \frac{q}{m}B }$.
При постоянных значениях $\frac{q}{m}$ и $v_{ \perp}$ радиус кривизны траектории заряженной частицы обратно пропорционален величине индукции магнитного поля. Для удержания заряженных частиц высоких энергий в ограниченном объеме используют специальную конфигурацию магнитного поля. Такие устройства называют магнитными ловушками.
2) Из выражения для периода обращения следует, что частота обращения заряженной частицы в постоянном магнитном поле $\vec{B}$ в плоскости, перпендикулярной полю, пропорциональна удельному заряду частицы и индукции поля:
$\nu_{c} = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \pi } \frac{q}{m} B$.
В теории плазмы эту частоту называют циклотронной частотой. Например, для электронов земной ионосферы, находящихся в магнитном поле Земли, $\nu_{c} = 1,4 \cdot 10^{6} Гц$.
