Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1507
2016-11-27 
Найти радиус кривизны капли в ее верхней точке А. Масса капли $M$, ее высота $H$, радиус соприкосновения капли с горизонтальной плоскостью, на которой она находится, равен $r$. Плотность жидкости $\rho$, поверхностное натяжение $\sigma$. Плоскость не смачивается жидкостью.
Решение:
Для простоты вычислений будем полагать внешнее давление равным нулю.
Давление жидкости вблизи точки А, согласно результатам задачи 1486 и 1487, определяется формулой Лапласа:
$P_{A} = \frac{2 \sigma}{R}$, (1)
где $R$ — радиус кривизны капли в точке А (в силу симметрии капли относительно вертикальной оси, проходящей через А, введение понятия радиуса кривизны в этой точке корректно). Рассматривая равновесие соответствующего столба жидкости, получим:
$P_{B} = P_{A} + \rho gH$, (2)
где $P_{B}$ — давление в жидкости вблизи точки В.
Во всех точках жидкости вблизи горизонтальной плоскости давление так же равно $P_{B}$ (давление в однородной жидкости на одной горизонтали одинаково).
Согласно третьему закону Ньютона, сила $P_{B} \pi r^{2}$ , с которой жидкость давит на поверхность, равна силе, с которой поверхность давит на жидкость. Записывая закон Ньютона (условие равновесия капли) в проекции на вертикальную ось, получим:
$P_{B} \pi r^{2} = Mg$. (3)
Из (1—3) после несложных вычислений получим:
$R = 2 \sigma \cdot \left ( \frac{ Mg}{ \pi r^{2}} - \rho gH \right )^{-1}$.
Следует иметь в виду, что мы существенно использовали условие несмачивания поверхности жидкостью, то есть равенство $\theta = \pi$. В противном случае появилась бы дополнительная сила со стороны поверхности, имеющая вертикальную составляющую.
Учет внешнего давления, как можно показать, не изменяет ответ, найденный выше. Действительно, внешнее давление, с одной стороны, приведет к появлению дополнительной силы, действующей на свободную поверхность капли и равной $P_{0} \pi r^{2}$. С другой стороны, на такую же величину внешнего давления $P_{0}$ возрастет давление в капле, и, следовательно, в конечном итоге появится дополнительная сила со стороны поверхности, так же равная $P_{0} \pi r^{2}$. Таким образом, условие равновесия (3) остается в силе: обе силы друг друга уравновешивают.
Найти радиус кривизны капли в ее верхней точке А. Масса капли $M$, ее высота $H$, радиус соприкосновения капли с горизонтальной плоскостью, на которой она находится, равен $r$. Плотность жидкости $\rho$, поверхностное натяжение $\sigma$. Плоскость не смачивается жидкостью.
Решение:
Для простоты вычислений будем полагать внешнее давление равным нулю.
Давление жидкости вблизи точки А, согласно результатам задачи 1486 и 1487, определяется формулой Лапласа:
$P_{A} = \frac{2 \sigma}{R}$, (1)
где $R$ — радиус кривизны капли в точке А (в силу симметрии капли относительно вертикальной оси, проходящей через А, введение понятия радиуса кривизны в этой точке корректно). Рассматривая равновесие соответствующего столба жидкости, получим:
$P_{B} = P_{A} + \rho gH$, (2)
где $P_{B}$ — давление в жидкости вблизи точки В.
Во всех точках жидкости вблизи горизонтальной плоскости давление так же равно $P_{B}$ (давление в однородной жидкости на одной горизонтали одинаково).
Согласно третьему закону Ньютона, сила $P_{B} \pi r^{2}$ , с которой жидкость давит на поверхность, равна силе, с которой поверхность давит на жидкость. Записывая закон Ньютона (условие равновесия капли) в проекции на вертикальную ось, получим:
$P_{B} \pi r^{2} = Mg$. (3)
Из (1—3) после несложных вычислений получим:
$R = 2 \sigma \cdot \left ( \frac{ Mg}{ \pi r^{2}} - \rho gH \right )^{-1}$.
Следует иметь в виду, что мы существенно использовали условие несмачивания поверхности жидкостью, то есть равенство $\theta = \pi$. В противном случае появилась бы дополнительная сила со стороны поверхности, имеющая вертикальную составляющую.
Учет внешнего давления, как можно показать, не изменяет ответ, найденный выше. Действительно, внешнее давление, с одной стороны, приведет к появлению дополнительной силы, действующей на свободную поверхность капли и равной $P_{0} \pi r^{2}$. С другой стороны, на такую же величину внешнего давления $P_{0}$ возрастет давление в капле, и, следовательно, в конечном итоге появится дополнительная сила со стороны поверхности, так же равная $P_{0} \pi r^{2}$. Таким образом, условие равновесия (3) остается в силе: обе силы друг друга уравновешивают.
