Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15069
2021-03-26 
Плоский воздушный конденсатор с расстоянием между обкладками $d$ частично погружен в жидкость с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ и плотностью $\rho$ (рис.). Через разомкнутый ключ K к пластинам конденсатора подведена батарея с ЭДС $\mathcal{E}$. Внутреннее сопротивление батареи мало. Пренебрегая вязкостью жидкости и капиллярными явлениями, определите максимальную выисоту подъема жидкости в конденсаторе после замыкания ключа. На какой высоте установится жидкость при наличии тепловых потерь?
Решение:
Поскольку омическим сопротивлением в электрической цепи мы пренебрегаем, сразу после замыкания ключа и в последующее время напряжение на конденсаторе будет равно ЭДС батареи $\mathcal{E}$. Пусть после замыкания ключа жидкий диэлектрик поднимется на максимальную высоту $h$. Очевидно, что в этом случае работа, совершенная батареей, пойдет на изменение энергии конденсатора и на изменение потенциальной энергии жидкости в поле тяжести (изменение кинетической энергии жидкости равно нулю).
Обозначим начальную емкость пустого (воздушного) конденсатора через $C_{0}$. Тогда емкость конденсатора в момент подъема жидкости на высоту $h$ равна
$C_{h} = C_{0} + \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) ah}{d}$,
где $a$ - ширина пластин конденсатора. Изменение энергии конденсатора после подъема жидкости равно
$\Delta W_{к} = (C_{h} - C_{0} ) \frac{ \mathcal{E}^{2} }{2} = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) ah \mathcal{E}^{2}}{2d}$.
Изменение потенциальной энергии поднятой жидкости составляет
$\Delta W_{ж} = \frac{ \rho gah^{2}d }{2}$.
Работа, совершенная батареей, равна
$\Delta A = (C_{h} - C_{0}) \mathcal{E}^{2} = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) ah \mathcal{E}^{2}}{d}$,
Записав закон сохранения энергии, получим уравнение для определения $h$:
$\frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) ah \mathcal{E}^{2}}{d} = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) ah \mathcal{E}^{2}}{2d} + \frac{ \rho g ah^{2}d }{2}$.
Данное квадратное уравнение имеет два решения:
$h_{1} = 0$ и $h_{2} = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) \mathcal{E}^{2}}{ \rho gd^{2} }$.
Первое решение ( $h_{1} = 0$ ) соответствует начальному положению уровня жидкости, второе решение ( $h_{2}$ ) отвечает максимальному подъему жидкости через некоторое время после замыкания ключа. А то положение уровня жидкости, которое установится после замыкания ключа при наличии тепловых потерь, должно соответствовать минимуму полной энергии нашей системы.
Обозначим установившуюся высоту подъема через $z$. Емкость конденсатора в этом случае равна
$C_{z} = C_{0} + \frac{ \epsilon_{0}( \epsilon - 1)az }{d}$.
Заряд на конденсаторе составляет
$Q_{z} = C_{z} \mathcal{E} = \left (C_{0} + \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1)az }{d} \right ) \mathcal{E}$.
Энергия, запасенная в батарее, равна
$W_{б} = W_{0} - Q_{z} \mathcal{E} = W_{0} - \left ( C_{0} + \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) az}{d} \right ) \mathcal{E}^{2} $.
где $W_{0}$ - начальная (до замыкания ключа) энергия в батарее. Энергия конденсатора составляет
$W_{к} = \left ( C_{0} + \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1 )az }{d} \right ) \frac{ \mathcal{E}^{2} }{2}$.
Потенциальная энергия поднятой жидкости есть
$W_{ж} = \frac{ \rho ga dz^{2}}{2}$.
Полная энергия нашей системы равна
$W = W_{б} + W_{к} + W_{ж}$,
или
$W = W_{0} - \left (C_{0} + \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1)az }{d} \right ) \frac{ \mathcal{E}^{2} }{2} + \frac{ \rho ga dz^{2} }{2}$.
Запишем условие минимума энергии и после дифференцирования получим уравнение
$\rho gadz - \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1)a \mathcal{E}^{2} }{2d} = 0$.
Отсюда найдем
$z = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) \mathcal{E}^{2}}{2 \rho gd^{2} }$.
Как видно из полученного выражения, высота, соответствующая устойчивому положению уровня жидкости, в два раза меньше максимальной высоты подъема. При отсутствии затухания жидкость колебалась бы около положения $h = z$ с амплитудой, равной $z$. При малых потерях энергии колебания будут затухать, и уровень жидкости установится на высоте $z$.
Плоский воздушный конденсатор с расстоянием между обкладками $d$ частично погружен в жидкость с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ и плотностью $\rho$ (рис.). Через разомкнутый ключ K к пластинам конденсатора подведена батарея с ЭДС $\mathcal{E}$. Внутреннее сопротивление батареи мало. Пренебрегая вязкостью жидкости и капиллярными явлениями, определите максимальную выисоту подъема жидкости в конденсаторе после замыкания ключа. На какой высоте установится жидкость при наличии тепловых потерь?
Решение:
Поскольку омическим сопротивлением в электрической цепи мы пренебрегаем, сразу после замыкания ключа и в последующее время напряжение на конденсаторе будет равно ЭДС батареи $\mathcal{E}$. Пусть после замыкания ключа жидкий диэлектрик поднимется на максимальную высоту $h$. Очевидно, что в этом случае работа, совершенная батареей, пойдет на изменение энергии конденсатора и на изменение потенциальной энергии жидкости в поле тяжести (изменение кинетической энергии жидкости равно нулю).
Обозначим начальную емкость пустого (воздушного) конденсатора через $C_{0}$. Тогда емкость конденсатора в момент подъема жидкости на высоту $h$ равна
$C_{h} = C_{0} + \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) ah}{d}$,
где $a$ - ширина пластин конденсатора. Изменение энергии конденсатора после подъема жидкости равно
$\Delta W_{к} = (C_{h} - C_{0} ) \frac{ \mathcal{E}^{2} }{2} = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) ah \mathcal{E}^{2}}{2d}$.
Изменение потенциальной энергии поднятой жидкости составляет
$\Delta W_{ж} = \frac{ \rho gah^{2}d }{2}$.
Работа, совершенная батареей, равна
$\Delta A = (C_{h} - C_{0}) \mathcal{E}^{2} = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) ah \mathcal{E}^{2}}{d}$,
Записав закон сохранения энергии, получим уравнение для определения $h$:
$\frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) ah \mathcal{E}^{2}}{d} = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) ah \mathcal{E}^{2}}{2d} + \frac{ \rho g ah^{2}d }{2}$.
Данное квадратное уравнение имеет два решения:
$h_{1} = 0$ и $h_{2} = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) \mathcal{E}^{2}}{ \rho gd^{2} }$.
Первое решение ( $h_{1} = 0$ ) соответствует начальному положению уровня жидкости, второе решение ( $h_{2}$ ) отвечает максимальному подъему жидкости через некоторое время после замыкания ключа. А то положение уровня жидкости, которое установится после замыкания ключа при наличии тепловых потерь, должно соответствовать минимуму полной энергии нашей системы.
Обозначим установившуюся высоту подъема через $z$. Емкость конденсатора в этом случае равна
$C_{z} = C_{0} + \frac{ \epsilon_{0}( \epsilon - 1)az }{d}$.
Заряд на конденсаторе составляет
$Q_{z} = C_{z} \mathcal{E} = \left (C_{0} + \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1)az }{d} \right ) \mathcal{E}$.
Энергия, запасенная в батарее, равна
$W_{б} = W_{0} - Q_{z} \mathcal{E} = W_{0} - \left ( C_{0} + \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) az}{d} \right ) \mathcal{E}^{2} $.
где $W_{0}$ - начальная (до замыкания ключа) энергия в батарее. Энергия конденсатора составляет
$W_{к} = \left ( C_{0} + \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1 )az }{d} \right ) \frac{ \mathcal{E}^{2} }{2}$.
Потенциальная энергия поднятой жидкости есть
$W_{ж} = \frac{ \rho ga dz^{2}}{2}$.
Полная энергия нашей системы равна
$W = W_{б} + W_{к} + W_{ж}$,
или
$W = W_{0} - \left (C_{0} + \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1)az }{d} \right ) \frac{ \mathcal{E}^{2} }{2} + \frac{ \rho ga dz^{2} }{2}$.
Запишем условие минимума энергии и после дифференцирования получим уравнение
$\rho gadz - \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1)a \mathcal{E}^{2} }{2d} = 0$.
Отсюда найдем
$z = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) \mathcal{E}^{2}}{2 \rho gd^{2} }$.
Как видно из полученного выражения, высота, соответствующая устойчивому положению уровня жидкости, в два раза меньше максимальной высоты подъема. При отсутствии затухания жидкость колебалась бы около положения $h = z$ с амплитудой, равной $z$. При малых потерях энергии колебания будут затухать, и уровень жидкости установится на высоте $z$.
