Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15067
2021-03-26 
Проводящая заряженная сфера радиусом $r_{1}$ окружена сферическим слоем диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$. Радиус внешней поверхности диэлектрика равен $r_{2}$. Определите поверхностную плотность поляризационных зарядов на внешней поверхности диэлектрика, если на сфере находится свободный заряд $Q$.
Решение:
Можно сразу сказать, что напряженность поля внутри диэлектрика будет в $\epsilon$ раз меньше по сравнению с полем без диэлектрика. Действительно, заряд на сфере сохраняется, сохраняется и его равномерное распределение по сфере (в силу сферической симметрии). Но диэлектрик заполняет только часть пространства, поэтому наше утверждение требует доказательства.
Заполним все пространство вне сферы ( $r_{1} \leq r \leq \infty$ ) нашей диэлектрической средой. В этом случае напряженность электрического поля во всей этой области уменьшится в $\epsilon$ раз. Мысленно проведем сферу радиусом $r_{2}$ (рис.). Пусть на поверхности сферы радиусом $r_{1}$ расположен свободный положительный заряд $Q$ (черные крестики), тогда вблизи этой поверхности будет равномерно распределен связанный отрицательный заряд (красныечерточки). Обозначим величину этого заряда
через $q_{св}$. Вблизи сферической поверхности радиусом $r_{2}$ (с внутренней и внешней стороны) также будут расположены связанные заряды, равные по величине дсв и противоположные по знаку. Связанные отрицательные заряды на сфере радиусом $r_{2}$ никакого влияния на поле в области $0 \leq r \leq r_{2}$ не оказывают - результирующее поле, которое они создают в любой точке этой области, равно нулю. Поэтому мы можем убрать диэлектрик из области $r_{2} \leq r \leq \infty$, и ничего при этом не изменится в интересующей нас области.
Итак, напряженность электрического поля в области $r_{1} \leq r \leq r_{2}$ в отсутствие диэлектрика равна
$E(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2} }$,
а при наличии диэлектрика -
$E_{д}(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}}$.
С другой стороны, это же поле равно сумме полей, создаваемых зарядами $Q$ и $q_{св}$, где $q_{св}$ - это отрицательные заряды у поверхности сферы радиусом $r_{1}$:
$E_{д}(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}} - \frac{q_{св} }{4 \pi \epsilon_{0}r^{2} } = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} (Q - q_{св})$.
Сравнивая два выражения для $E_{д}$, получим
$\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon r^{2} } = \frac{(Q - q_{св})}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2} }$.
Отсюда находим величину связанных зарядов:
$q_{св} = \frac{ \epsilon - 1}{ \epsilon } Q$
и поверхностную плотность этих зарядов на сфере радиусом $r_{2}$:
$\sigma_{св} (r_{2} ) = \frac{q_{св} }{ 4 \pi r_{2}^{2} } = \frac{( \epsilon - 1)Q }{4 \pi \epsilon r_{2}^{2} }$.
Проводящая заряженная сфера радиусом $r_{1}$ окружена сферическим слоем диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$. Радиус внешней поверхности диэлектрика равен $r_{2}$. Определите поверхностную плотность поляризационных зарядов на внешней поверхности диэлектрика, если на сфере находится свободный заряд $Q$.
Решение:
Можно сразу сказать, что напряженность поля внутри диэлектрика будет в $\epsilon$ раз меньше по сравнению с полем без диэлектрика. Действительно, заряд на сфере сохраняется, сохраняется и его равномерное распределение по сфере (в силу сферической симметрии). Но диэлектрик заполняет только часть пространства, поэтому наше утверждение требует доказательства.
Заполним все пространство вне сферы ( $r_{1} \leq r \leq \infty$ ) нашей диэлектрической средой. В этом случае напряженность электрического поля во всей этой области уменьшится в $\epsilon$ раз. Мысленно проведем сферу радиусом $r_{2}$ (рис.). Пусть на поверхности сферы радиусом $r_{1}$ расположен свободный положительный заряд $Q$ (черные крестики), тогда вблизи этой поверхности будет равномерно распределен связанный отрицательный заряд (красныечерточки). Обозначим величину этого заряда
через $q_{св}$. Вблизи сферической поверхности радиусом $r_{2}$ (с внутренней и внешней стороны) также будут расположены связанные заряды, равные по величине дсв и противоположные по знаку. Связанные отрицательные заряды на сфере радиусом $r_{2}$ никакого влияния на поле в области $0 \leq r \leq r_{2}$ не оказывают - результирующее поле, которое они создают в любой точке этой области, равно нулю. Поэтому мы можем убрать диэлектрик из области $r_{2} \leq r \leq \infty$, и ничего при этом не изменится в интересующей нас области.
Итак, напряженность электрического поля в области $r_{1} \leq r \leq r_{2}$ в отсутствие диэлектрика равна
$E(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2} }$,
а при наличии диэлектрика -
$E_{д}(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}}$.
С другой стороны, это же поле равно сумме полей, создаваемых зарядами $Q$ и $q_{св}$, где $q_{св}$ - это отрицательные заряды у поверхности сферы радиусом $r_{1}$:
$E_{д}(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}} - \frac{q_{св} }{4 \pi \epsilon_{0}r^{2} } = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} (Q - q_{св})$.
Сравнивая два выражения для $E_{д}$, получим
$\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon r^{2} } = \frac{(Q - q_{св})}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2} }$.
Отсюда находим величину связанных зарядов:
$q_{св} = \frac{ \epsilon - 1}{ \epsilon } Q$
и поверхностную плотность этих зарядов на сфере радиусом $r_{2}$:
$\sigma_{св} (r_{2} ) = \frac{q_{св} }{ 4 \pi r_{2}^{2} } = \frac{( \epsilon - 1)Q }{4 \pi \epsilon r_{2}^{2} }$.
