Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15066
2021-03-26 
Плоский воздушный конденсатор с квадратными пластинами частично заполнен диэлектриком, как это изображено на рисунке для трех разных случаев. Определите напряженность электрического поля внутри диэлектрика, если заряд на обкладках конденсатора $Q$, площадь пластин $S$, диэлектрическая проницаемость среды $\epsilon$. Размеры диэлектрика указаны на рисунке.
Решение:
Рассмотрим первый случай, когда конденсатор частично заполнен слоем диэлектрика толщиной $h$ (см. рис.а). В отсутствие диэлектрика напряженность электрического поля в конденсаторе равна
$E = \frac{Q}{ \epsilon_{0}S }$. (1)
При данном частичном заполнении пространства между обкладками диэлектриком мы можем рассматривать наш конденсатор как систему двух последовательно соединенных конденсаторов, один из которых воздушный емкостью
$C_{в} = \frac{ \epsilon_{0}S }{d - h}$,
а другой - полностью заполненный диэлектриком, емкость которого
$C_{д} = \frac{ \epsilon_{0} \epsilon S}{h}$.
На каждом из конденсаторов находится заряд $Q$, поэтому разность потенциалов на заполненной диэлектриком части конденсатора равна
$U_{д} = \frac{Q}{C_{д} } = \frac{Qh}{ \epsilon_{0} \epsilon S }$,
а напряженность поля в диэлектрике составляет
$E_{д} = \frac{U_{д} }{h} = \frac{Q}{ \epsilon_{0} \epsilon S }$. (2)
Сравнивая полученное выражение с напряженностью в отсутствие диэлектрика (1), мы видим, что напряженность поля в диэлектрике уменьшилась в $\epsilon$ раз и это ослабление поля не зависит от толщины слоя диэлектрика. При таком способе заполнения происходит максимальное ослабление поля в диэлектрике.
Перейдем ко второму случаю (см. рис.б). Теперь мы можем рассматривать наш конденсатор как систему двух параллельно соединенных конденсаторов с емкостями
$C_{в} = \frac{ \epsilon \sqrt{S} ( \sqrt{S} - l ) }{d}$ и $C_{д} = \frac{ \epsilon_{0} \epsilon \sqrt{S}l }{d}$,
где $\sqrt{S}$ - линейный размер обкладок конденсатора. Общая емкость конденсатора составляет
$C = C_{в} + C_{д} = \frac{ \epsilon S}{d} \left ( 1 + \frac{l ( \epsilon - 1) }{ \sqrt{S} } \right )$.
Разность потенциалов между обкладками нашего конденсатора равна
$U = \frac{Q}{C} = \frac{Qd}{ \epsilon_{0}S \left ( 1 + \frac{l( \epsilon - 1) }{ \sqrt{S} } \right ) }$,
а напряженность поля в диэлектрике -
$E_{д} = \frac{U}{d} = \frac{Q}{ \epsilon_{0}S \left ( 1 + \frac{l ( \epsilon - 1) }{ \sqrt{S} } \right ) }$. (3)
Проанализируем полученное выражение на зависимость от $l$. При стремлении $l$ к $\sqrt{S}$ поле в диэлектрике уменьшается и стремится к значению
$E_{д}( \sqrt{S} ) = \frac{Q}{ \epsilon_{0} \epsilon S }$,
а при стремлении $l$ к нулю поле растет и при $l = 0$ становится равным
$E_{д} (0) = \frac{Q}{ \epsilon_{0}S }$.
При произвольном значении $l$ поле в диэлектрике заключено в пределах
$\frac{Q}{ \epsilon_{0} \epsilon S } \leq E_{д}(l) \leq \frac{Q}{ \epsilon_{0}S }$.
В третьем случае (см. рис.в) мы можем рассматривать наш конденсатор как систему трех конденсаторов - соответствующая эквивалентная схема изображена на рисунке. Емкость первого, воздушного, конденсатора равна
$C_{1} = \frac{ \epsilon_{0} \sqrt{S} ( \sqrt{S} - l ) }{d}$,
емкость второго, воздушного, конденсатора равна
$C_{2} = \frac{ \epsilon_{0} \sqrt{S}l}{d - h}$,
а емкость третьего конденсатора, заполненного диэлектриком, равна
$C_{3} = \frac{ \epsilon_{0} \epsilon \sqrt{S}l}{h}$.
Общая емкость двух последовательно соединенных конденсаторов (второго и третьего) составляет
$C_{23} = \frac{C_{2}C_{3} }{C_{2} + C_{3} } = \frac{ \epsilon_{0} \epsilon \sqrt{S}l }{h + \epsilon(d -h) }$,
а общая емкость всех конденсаторов есть
$C = C_{1} + C_{23} = \epsilon_{0} \sqrt{S} \left ( \frac{ \sqrt{S} - l }{d} + \frac{ \epsilon l}{h + \epsilon (d - h) } \right )$.
Разность потенциалов между обкладками нашего конденсатора равна
$U = \frac{Q}{C}$,
заряд на последовательно соединенных конденсаторах равен
$Q_{23} = UC_{23} = \frac{QC_{23} }{C}$,
разность потенциалов на третьем конденсаторе составляет
$U_{3} = \frac{Q_{23}}{C_{3} } = \frac{QC_{23} }{C_{3}C }$,
а напряженность поля внутри диэлектрика есть
$E_{др} = \frac{U_{3} }{h} = \frac{Q}{ \epsilon_{0}S \left ( \frac{h}{d} \left ( 1 - \frac{l}{ \sqrt{S} } \right ) + \epsilon \left ( 1 - \frac{h}{d} + \frac{hl}{d \sqrt{S} } \right ) \right ) }$.
Нетрудно убедиться, что полученное выражение при $l = \sqrt{S}$ переходит в выражение (2), а при $h = d$ - в выражение (3).
Следует отметить, что во втором и третьем случаях при сохранении заряда на обкладках конденсаторов происходит перераспределение этого заряда: поверхностная плотность зарядов на той части пластин, которые примыкают к диэлектрику, больше, чем на воздушной части пластин. Убедиться в этом мы предлагаем вам в качестве упражнения.
Плоский воздушный конденсатор с квадратными пластинами частично заполнен диэлектриком, как это изображено на рисунке для трех разных случаев. Определите напряженность электрического поля внутри диэлектрика, если заряд на обкладках конденсатора $Q$, площадь пластин $S$, диэлектрическая проницаемость среды $\epsilon$. Размеры диэлектрика указаны на рисунке.
Решение:
Рассмотрим первый случай, когда конденсатор частично заполнен слоем диэлектрика толщиной $h$ (см. рис.а). В отсутствие диэлектрика напряженность электрического поля в конденсаторе равна
$E = \frac{Q}{ \epsilon_{0}S }$. (1)
При данном частичном заполнении пространства между обкладками диэлектриком мы можем рассматривать наш конденсатор как систему двух последовательно соединенных конденсаторов, один из которых воздушный емкостью
$C_{в} = \frac{ \epsilon_{0}S }{d - h}$,
а другой - полностью заполненный диэлектриком, емкость которого
$C_{д} = \frac{ \epsilon_{0} \epsilon S}{h}$.
На каждом из конденсаторов находится заряд $Q$, поэтому разность потенциалов на заполненной диэлектриком части конденсатора равна
$U_{д} = \frac{Q}{C_{д} } = \frac{Qh}{ \epsilon_{0} \epsilon S }$,
а напряженность поля в диэлектрике составляет
$E_{д} = \frac{U_{д} }{h} = \frac{Q}{ \epsilon_{0} \epsilon S }$. (2)
Сравнивая полученное выражение с напряженностью в отсутствие диэлектрика (1), мы видим, что напряженность поля в диэлектрике уменьшилась в $\epsilon$ раз и это ослабление поля не зависит от толщины слоя диэлектрика. При таком способе заполнения происходит максимальное ослабление поля в диэлектрике.
Перейдем ко второму случаю (см. рис.б). Теперь мы можем рассматривать наш конденсатор как систему двух параллельно соединенных конденсаторов с емкостями
$C_{в} = \frac{ \epsilon \sqrt{S} ( \sqrt{S} - l ) }{d}$ и $C_{д} = \frac{ \epsilon_{0} \epsilon \sqrt{S}l }{d}$,
где $\sqrt{S}$ - линейный размер обкладок конденсатора. Общая емкость конденсатора составляет
$C = C_{в} + C_{д} = \frac{ \epsilon S}{d} \left ( 1 + \frac{l ( \epsilon - 1) }{ \sqrt{S} } \right )$.
Разность потенциалов между обкладками нашего конденсатора равна
$U = \frac{Q}{C} = \frac{Qd}{ \epsilon_{0}S \left ( 1 + \frac{l( \epsilon - 1) }{ \sqrt{S} } \right ) }$,
а напряженность поля в диэлектрике -
$E_{д} = \frac{U}{d} = \frac{Q}{ \epsilon_{0}S \left ( 1 + \frac{l ( \epsilon - 1) }{ \sqrt{S} } \right ) }$. (3)
Проанализируем полученное выражение на зависимость от $l$. При стремлении $l$ к $\sqrt{S}$ поле в диэлектрике уменьшается и стремится к значению
$E_{д}( \sqrt{S} ) = \frac{Q}{ \epsilon_{0} \epsilon S }$,
а при стремлении $l$ к нулю поле растет и при $l = 0$ становится равным
$E_{д} (0) = \frac{Q}{ \epsilon_{0}S }$.
При произвольном значении $l$ поле в диэлектрике заключено в пределах
$\frac{Q}{ \epsilon_{0} \epsilon S } \leq E_{д}(l) \leq \frac{Q}{ \epsilon_{0}S }$.
В третьем случае (см. рис.в) мы можем рассматривать наш конденсатор как систему трех конденсаторов - соответствующая эквивалентная схема изображена на рисунке. Емкость первого, воздушного, конденсатора равна
$C_{1} = \frac{ \epsilon_{0} \sqrt{S} ( \sqrt{S} - l ) }{d}$,
емкость второго, воздушного, конденсатора равна
$C_{2} = \frac{ \epsilon_{0} \sqrt{S}l}{d - h}$,
а емкость третьего конденсатора, заполненного диэлектриком, равна
$C_{3} = \frac{ \epsilon_{0} \epsilon \sqrt{S}l}{h}$.
Общая емкость двух последовательно соединенных конденсаторов (второго и третьего) составляет
$C_{23} = \frac{C_{2}C_{3} }{C_{2} + C_{3} } = \frac{ \epsilon_{0} \epsilon \sqrt{S}l }{h + \epsilon(d -h) }$,
а общая емкость всех конденсаторов есть
$C = C_{1} + C_{23} = \epsilon_{0} \sqrt{S} \left ( \frac{ \sqrt{S} - l }{d} + \frac{ \epsilon l}{h + \epsilon (d - h) } \right )$.
Разность потенциалов между обкладками нашего конденсатора равна
$U = \frac{Q}{C}$,
заряд на последовательно соединенных конденсаторах равен
$Q_{23} = UC_{23} = \frac{QC_{23} }{C}$,
разность потенциалов на третьем конденсаторе составляет
$U_{3} = \frac{Q_{23}}{C_{3} } = \frac{QC_{23} }{C_{3}C }$,
а напряженность поля внутри диэлектрика есть
$E_{др} = \frac{U_{3} }{h} = \frac{Q}{ \epsilon_{0}S \left ( \frac{h}{d} \left ( 1 - \frac{l}{ \sqrt{S} } \right ) + \epsilon \left ( 1 - \frac{h}{d} + \frac{hl}{d \sqrt{S} } \right ) \right ) }$.
Нетрудно убедиться, что полученное выражение при $l = \sqrt{S}$ переходит в выражение (2), а при $h = d$ - в выражение (3).
Следует отметить, что во втором и третьем случаях при сохранении заряда на обкладках конденсаторов происходит перераспределение этого заряда: поверхностная плотность зарядов на той части пластин, которые примыкают к диэлектрику, больше, чем на воздушной части пластин. Убедиться в этом мы предлагаем вам в качестве упражнения.
