Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15062
2021-03-26 
Две частицы, массы которых $m_{1}$ и $m_{2}$ ($m_{1} > m_{2}$), движутся навстречу друг другу вдоль одной прямой с одинаковыми скоростями. После упругого столкновения тяжелая частица отклоняется от направления своего первоначального движения на угол $\alpha = 30^{ \circ}$ в лабораторной системе отсчета или на угол $\beta = 60^{ \circ}$ в системе центра масс. Определите отношение $\frac{m_{1}}{m_{2}}$.
Решение:
Обозначим начальные скорости частиц в лабораторной системе координат через $v_{0}$. Тогда скорость движения центра масс нашей системы частиц будет
$u = \frac{(m_{1} - m_{2}) v_{0}}{m_{1} + m_{2} }$
- здесь за положительное направление выбрано направление скорости частицы массой $m_{1}$.
Перейдем в систему координат, связанную с центром масс. В этой системе скорость частицы массой $m_{1}$ до столкновения равна
$v_{1ц} = v_{0} - u = \frac{2m_{2}v_{0} }{m_{1} + m_{2} }$.
Аналогичная скорость частицы массой $m_{2}$ составляет
$v_{2ц} = - (v_{0} + u ) = - \frac{2m_{1}v_{0} }{m_{1} + m_{2} }$.
Импульсы частиц в этой системе координат равны по величине:
$p_{1ц} = p_{2ц} = \frac{2m_{1}m_{2}v_{0} }{m_{1} + m_{2} }$
и направлены в противоположные стороны как до соударения, так и после него. Но после соударения импульсы частиц лежат на прямой, которая составляет угол $\beta$ с направлением первоначального движения.
На рисунке изображена векторная диаграмма импульсов для частицы массой $m_{1}$. На этой диаграмме прямая $AA^{ \prime }$ соответствует направлению первоначального движения частиц. Отрезок ОВ равен импульсу частицы массой $m_{1}$ в системе центра масс после столкновения, отрезок ОС равен импульсу этой же частицы после соударения, но уже в лабораторной системе отсчета. А вот отрезок ВС - это импульс, который добавляется при переходе из системы центра масс в лабораторную систему, величина этого импульса равна
$p_{1u} = m_{1}u = \frac{m_{1}(m_{1} - m_{2} )v_{0} }{m_{1} + m_{2} }$.
При заданных значениях углов $\alpha$ и $\beta$ треугольник ОВС оказывается равнобедренным, поскольку $\angle BOC = \beta - \alpha = 30^{ \circ}$, а $\angle BCO = \alpha = 30^{ \circ}$ ($BC \parallel AA^{ \prime }$ ). Из этого следует, что $OB = BC$, или
$\frac{2 m_{1}m_{2}v_{0}}{m_{1} + m_{2} } = \frac{ m_{1} ( m_{1} - m_{2}) v_{0}}{ m_{1} + m_{2}}$,
откуда получаем
$\frac{m_{1} }{m_{2} } = 3$.
Две частицы, массы которых $m_{1}$ и $m_{2}$ ($m_{1} > m_{2}$), движутся навстречу друг другу вдоль одной прямой с одинаковыми скоростями. После упругого столкновения тяжелая частица отклоняется от направления своего первоначального движения на угол $\alpha = 30^{ \circ}$ в лабораторной системе отсчета или на угол $\beta = 60^{ \circ}$ в системе центра масс. Определите отношение $\frac{m_{1}}{m_{2}}$.
Решение:
Обозначим начальные скорости частиц в лабораторной системе координат через $v_{0}$. Тогда скорость движения центра масс нашей системы частиц будет
$u = \frac{(m_{1} - m_{2}) v_{0}}{m_{1} + m_{2} }$
- здесь за положительное направление выбрано направление скорости частицы массой $m_{1}$.
Перейдем в систему координат, связанную с центром масс. В этой системе скорость частицы массой $m_{1}$ до столкновения равна
$v_{1ц} = v_{0} - u = \frac{2m_{2}v_{0} }{m_{1} + m_{2} }$.
Аналогичная скорость частицы массой $m_{2}$ составляет
$v_{2ц} = - (v_{0} + u ) = - \frac{2m_{1}v_{0} }{m_{1} + m_{2} }$.
Импульсы частиц в этой системе координат равны по величине:
$p_{1ц} = p_{2ц} = \frac{2m_{1}m_{2}v_{0} }{m_{1} + m_{2} }$
и направлены в противоположные стороны как до соударения, так и после него. Но после соударения импульсы частиц лежат на прямой, которая составляет угол $\beta$ с направлением первоначального движения.
На рисунке изображена векторная диаграмма импульсов для частицы массой $m_{1}$. На этой диаграмме прямая $AA^{ \prime }$ соответствует направлению первоначального движения частиц. Отрезок ОВ равен импульсу частицы массой $m_{1}$ в системе центра масс после столкновения, отрезок ОС равен импульсу этой же частицы после соударения, но уже в лабораторной системе отсчета. А вот отрезок ВС - это импульс, который добавляется при переходе из системы центра масс в лабораторную систему, величина этого импульса равна
$p_{1u} = m_{1}u = \frac{m_{1}(m_{1} - m_{2} )v_{0} }{m_{1} + m_{2} }$.
При заданных значениях углов $\alpha$ и $\beta$ треугольник ОВС оказывается равнобедренным, поскольку $\angle BOC = \beta - \alpha = 30^{ \circ}$, а $\angle BCO = \alpha = 30^{ \circ}$ ($BC \parallel AA^{ \prime }$ ). Из этого следует, что $OB = BC$, или
$\frac{2 m_{1}m_{2}v_{0}}{m_{1} + m_{2} } = \frac{ m_{1} ( m_{1} - m_{2}) v_{0}}{ m_{1} + m_{2}}$,
откуда получаем
$\frac{m_{1} }{m_{2} } = 3$.
