Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15061
2021-03-26 
Определите, какую часть своей кинетической энергии теряет частица массой $m_{1}$ при упругом лобовом столкновении с неподвижной частицей массой $m_{2}$.
Решение:
Пусть скорость налетающей частицы массой $m_{1}$ равна $v_{1}$, тогда скорость движения центра масс системы будет равна
$u = \frac{m_{1}v_{1} }{m_{1} + m_{2} }$.
Перейдем в систему отсчета, связанную с центром масс нашей системы. В этой системе скорость частицы массой $m_{1}$ равна
$v_{1ц} = v_{1} - u = \frac{m_{2}v_{1} }{m_{1} + m_{2} }$,
а скорость частицы массой $m_{2}$ составляет
$v_{2ц} = - u = - \frac{m_{1}v_{1} }{m_{1} + m_{2} }$.
За положительное направление выбрано направление скорости первой частицы. Получается, что в системе центра масс мы имеем уже другую ситуацию: обе частицы движутся навстречу друг другу с равными по величине импульсами
$p = \frac{m_{1}m_{2}v_{1} }{ m_{1} + m_{2}}$.
Когда частицы встретятся, возможны три варианта:
1) частицы не провзаимодействуют и пролетят, сохраняя свои скорости и импульсы;
2) произойдет нецентральный упругий удар, при котором частицы разлетятся, также сохраняя свои скорости и импульсы, но уже лежащие на прямой, проходящей по одному из диаметров сферы с центром в точке столкновения;
3) произойдет центральный упругий удар, при котором скорости и импульсы частиц также остаются неизменными по величине, но меняют свои направления на противоположные.
Найдем скорости наших частиц после центрального удара, но уже снова в неподвижной системе координат, где скорость частицы массой $m_{1}$ до удара была $v_{1}$. После удара первая частица будет двигаться со скоростью
$v_{1}^{ \prime } = u - v_{1ц} = \frac{(m_{1} - m_{2} )v_{1}}{m_{1} + m_{2}}$,
а вторая - со скоростью
$v_{2}^{ \prime } = u - v_{2ц} = \frac{2m_{1}v_{1} }{m_{1} + m_{2} }$.
До удара кинетическая энергия налетающей частицы в неподвижной системе координат была
$E_{к} = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2}$,
а после удара стала
$E_{к}^{ \prime } = \frac{m_{1} (v_{1}^{ \prime } )^{2}}{2} = \frac{m_{1} (m_{1} - m_{2} )^{2} v_{1}^{2}}{2 (m_{1} + m_{2} )^{2}}$.
Потеря кинетической энергии равна
$\Delta E_{к} = E_{к} - E_{к}^{ \prime } = \frac{2m_{1}^{2}m_{2}v_{1}^{2} }{(m_{1} + m_{2} )^{2} }$,
что составляет от начальной энергии долю
$\alpha = \frac{ \Delta E_{к} }{ E_{к} } = \frac{4m_{1}m_{2} }{(m_{1} + m_{2} )^{2} } = \frac{4 \frac{m_{1} }{m_{2} } }{ \left ( 1 + \frac{m_{1} }{m_{2} } \right )^{2} }$
Зависимость $\alpha$ от отношения $\frac{m_{1} }{m_{2} }$ изображена на рисунке. При $m_{1} = m_{2} \: \alpha = 1$, т.е. происходит полная потеря энергии. При уменьшении отношения $\frac{ m_{1}}{ m_{2}} \: \alpha$ уменьшается и при $\frac{m_{1}}{m_{2}} \rightarrow 0$ доля теряемой энергии также стремится к нулю. Вот почему, например, в ядерных реакторах для замедления нейтронов используется рассеяние их на ядрах легких атомов - дейтерия, углерода. Для дейтерия, ядро которого состоит из протона и нейтрона, $\frac{m_{1}}{ m_{2}} = 0,5$ и $\alpha = 0,89$. В случае же ядра атома углерода $\frac{m_{1} }{m_{2}} = \frac{1}{12 }$ и $\alpha = 0,28$.
Определите, какую часть своей кинетической энергии теряет частица массой $m_{1}$ при упругом лобовом столкновении с неподвижной частицей массой $m_{2}$.
Решение:
Пусть скорость налетающей частицы массой $m_{1}$ равна $v_{1}$, тогда скорость движения центра масс системы будет равна
$u = \frac{m_{1}v_{1} }{m_{1} + m_{2} }$.
Перейдем в систему отсчета, связанную с центром масс нашей системы. В этой системе скорость частицы массой $m_{1}$ равна
$v_{1ц} = v_{1} - u = \frac{m_{2}v_{1} }{m_{1} + m_{2} }$,
а скорость частицы массой $m_{2}$ составляет
$v_{2ц} = - u = - \frac{m_{1}v_{1} }{m_{1} + m_{2} }$.
За положительное направление выбрано направление скорости первой частицы. Получается, что в системе центра масс мы имеем уже другую ситуацию: обе частицы движутся навстречу друг другу с равными по величине импульсами
$p = \frac{m_{1}m_{2}v_{1} }{ m_{1} + m_{2}}$.
Когда частицы встретятся, возможны три варианта:
1) частицы не провзаимодействуют и пролетят, сохраняя свои скорости и импульсы;
2) произойдет нецентральный упругий удар, при котором частицы разлетятся, также сохраняя свои скорости и импульсы, но уже лежащие на прямой, проходящей по одному из диаметров сферы с центром в точке столкновения;
3) произойдет центральный упругий удар, при котором скорости и импульсы частиц также остаются неизменными по величине, но меняют свои направления на противоположные.
Найдем скорости наших частиц после центрального удара, но уже снова в неподвижной системе координат, где скорость частицы массой $m_{1}$ до удара была $v_{1}$. После удара первая частица будет двигаться со скоростью
$v_{1}^{ \prime } = u - v_{1ц} = \frac{(m_{1} - m_{2} )v_{1}}{m_{1} + m_{2}}$,
а вторая - со скоростью
$v_{2}^{ \prime } = u - v_{2ц} = \frac{2m_{1}v_{1} }{m_{1} + m_{2} }$.
До удара кинетическая энергия налетающей частицы в неподвижной системе координат была
$E_{к} = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2}$,
а после удара стала
$E_{к}^{ \prime } = \frac{m_{1} (v_{1}^{ \prime } )^{2}}{2} = \frac{m_{1} (m_{1} - m_{2} )^{2} v_{1}^{2}}{2 (m_{1} + m_{2} )^{2}}$.
Потеря кинетической энергии равна
$\Delta E_{к} = E_{к} - E_{к}^{ \prime } = \frac{2m_{1}^{2}m_{2}v_{1}^{2} }{(m_{1} + m_{2} )^{2} }$,
что составляет от начальной энергии долю
$\alpha = \frac{ \Delta E_{к} }{ E_{к} } = \frac{4m_{1}m_{2} }{(m_{1} + m_{2} )^{2} } = \frac{4 \frac{m_{1} }{m_{2} } }{ \left ( 1 + \frac{m_{1} }{m_{2} } \right )^{2} }$
Зависимость $\alpha$ от отношения $\frac{m_{1} }{m_{2} }$ изображена на рисунке. При $m_{1} = m_{2} \: \alpha = 1$, т.е. происходит полная потеря энергии. При уменьшении отношения $\frac{ m_{1}}{ m_{2}} \: \alpha$ уменьшается и при $\frac{m_{1}}{m_{2}} \rightarrow 0$ доля теряемой энергии также стремится к нулю. Вот почему, например, в ядерных реакторах для замедления нейтронов используется рассеяние их на ядрах легких атомов - дейтерия, углерода. Для дейтерия, ядро которого состоит из протона и нейтрона, $\frac{m_{1}}{ m_{2}} = 0,5$ и $\alpha = 0,89$. В случае же ядра атома углерода $\frac{m_{1} }{m_{2}} = \frac{1}{12 }$ и $\alpha = 0,28$.
