Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15058
2021-03-26 
Две большие одинаковые металлические пластины, находящиеся в вакууме, могут свободно двигаться вдоль перпендикулярной их плоскостям горизонтальной прямой АВ, проходящей через середины пластин. Середины пластин скреплены между собой легкой недеформированной проводящей пружиной жесткостью $k$. На прямой АВ на расстоянии $L$ от наружных поверхностей пластин, удерживая их, закрепляют два маленьких шарика, имеющих заряды $+q$ и $-q$. При каком значении $q$ пластины после отпускания будут совершать колебания с максимальным отклонением от исходного положения, не касаясь шариков?
Решение:
Под действием электрических зарядов шариков на обращенных к ним сторонах пластин возникают индуцированные заряды противоположного знака. В результате на каждую из пластин со стороны ближайшего к ней шарика будет действовать сила притяжения, и пластины после отпускания начнут смещаться одинаковым образом от своих исходных положений. Пусть максимальное смещение каждой из пластин от исходного положения равно $x_{m}$. Поскольку размеры пластин велики и они соединены проводящей пружиной, можно считать, что электрического поля между пластинами нет, а энергия поля, создаваемого зарядами шариков и зарядами, индуцированными на указанных поверхностях пластин, когда пластины сместились от исходных положений на расстояние х, равна энергии поля двух точечных зарядов, находящихся в вакууме на расстоянии $2 (L - x)$ друг от друга, т.е. равна
$W_{э} = - \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}(L - x) }$.
При этом потенциальная энергия упруго деформированной пружины будет равна
$W_{п} = 2kx^{2}$.
В соответствии с условием задачи силами сопротивления движению пластин следует пренебречь. Будем пренебрегать также излучением, возникающим при неравномерном движении заряженных пластин, индуктивностью пружины и ее омическим сопротивлением.
Поскольку первоначально пластины покоились и при максимальном смещении их скорость равна нулю, то, согласно закону сохранения энергии,
$- \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}L } = - \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}(L - x_{m} ) } + 2kx_{m}^{2}$.
Обозначим $y_{m} = \frac{x_{m}}{L}$ и $B = \frac{q^{2}}{16 \pi \epsilon_{0} kL^{3}}$. Тогда последнее уравнение примет вид
$y_{m}^{2} - y_{m} + B = 0$,
откуда
$y_{m} = 0,5 \pm \sqrt{0,25 - B}$.
Следовательно, $B \leq 0,25$, т.е. $q^{2} \leq 4 \pi \epsilon_{0}kL^{3}$, а потому искомая величина заряда должна быть чуть меньше
$q_{max} = 2L \sqrt{ \pi \epsilon_{0}kL}$.
Две большие одинаковые металлические пластины, находящиеся в вакууме, могут свободно двигаться вдоль перпендикулярной их плоскостям горизонтальной прямой АВ, проходящей через середины пластин. Середины пластин скреплены между собой легкой недеформированной проводящей пружиной жесткостью $k$. На прямой АВ на расстоянии $L$ от наружных поверхностей пластин, удерживая их, закрепляют два маленьких шарика, имеющих заряды $+q$ и $-q$. При каком значении $q$ пластины после отпускания будут совершать колебания с максимальным отклонением от исходного положения, не касаясь шариков?
Решение:
Под действием электрических зарядов шариков на обращенных к ним сторонах пластин возникают индуцированные заряды противоположного знака. В результате на каждую из пластин со стороны ближайшего к ней шарика будет действовать сила притяжения, и пластины после отпускания начнут смещаться одинаковым образом от своих исходных положений. Пусть максимальное смещение каждой из пластин от исходного положения равно $x_{m}$. Поскольку размеры пластин велики и они соединены проводящей пружиной, можно считать, что электрического поля между пластинами нет, а энергия поля, создаваемого зарядами шариков и зарядами, индуцированными на указанных поверхностях пластин, когда пластины сместились от исходных положений на расстояние х, равна энергии поля двух точечных зарядов, находящихся в вакууме на расстоянии $2 (L - x)$ друг от друга, т.е. равна
$W_{э} = - \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}(L - x) }$.
При этом потенциальная энергия упруго деформированной пружины будет равна
$W_{п} = 2kx^{2}$.
В соответствии с условием задачи силами сопротивления движению пластин следует пренебречь. Будем пренебрегать также излучением, возникающим при неравномерном движении заряженных пластин, индуктивностью пружины и ее омическим сопротивлением.
Поскольку первоначально пластины покоились и при максимальном смещении их скорость равна нулю, то, согласно закону сохранения энергии,
$- \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}L } = - \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}(L - x_{m} ) } + 2kx_{m}^{2}$.
Обозначим $y_{m} = \frac{x_{m}}{L}$ и $B = \frac{q^{2}}{16 \pi \epsilon_{0} kL^{3}}$. Тогда последнее уравнение примет вид
$y_{m}^{2} - y_{m} + B = 0$,
откуда
$y_{m} = 0,5 \pm \sqrt{0,25 - B}$.
Следовательно, $B \leq 0,25$, т.е. $q^{2} \leq 4 \pi \epsilon_{0}kL^{3}$, а потому искомая величина заряда должна быть чуть меньше
$q_{max} = 2L \sqrt{ \pi \epsilon_{0}kL}$.
