Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15057
2021-03-26 
По гладкой горизонтальной плоскости скользит диск радиусом $R$, вырезанный из тонкого однородного листа металла (рис.). В момент времени $t = 0$ величина скорости точки А, расположенной на краю диска, оказалась равной $v_{A}$. При этом скорость диаметрально противоположной крайней точки В диска была направлена вдоль прямой, образующей с диаметром АВ угол $\beta < 0,5 \pi$, а скорость точки А совпадала с прямой, образующей с этим диаметром угол $\alpha < 0,5 \pi$. Найдите величину перемещения $\Delta r$ центра диска к моменту $t = \tau$. Окончательный расчет проведите для $\alpha = 60^{ \circ }$ и $\beta = 30^{ \circ}$.
Решение:
Как это обычно и делается при решении подобных задач, будем считать диск твердым телом. По условию задачи диск совершает плоское движение. Как известно, такое движение твердого тела можно рассматривать как суперпозицию двух движений: поступательного и вращательного вокруг оси, перпендикулярной плоскостям, в которых располагаются траектории точек диска. При этом скорость оси - скорость поступательного движения - зависит от выбора точки, называемой полюсом вращения, через которую проходит ось вращения, в то время как угловая скорость вращения не зависит от выбора полюса. Более того, всегда можно выбрать полюс так, чтобы для данного момента скорость оси вращения была равна нулю. Такую ось называют мгновенной осью вращения. При этом скорость любой точки твердого тела будет направлена перпендикулярно радиусу ее вращения (кратчайшему расстоянию от оси до данной точки) и равна произведению угловой скорости вращения на величину этого радиуса.
В соответствии со сказанным, находим точку О пересечения перпендикуляров к линиям скоростей точек А и В, восставленных из этих точек (рис.). Если из двух возможных по условию задачи направлений скорость точки А в момент времени $t = 0$ направлена так, как показано на рисунке, то диск должен вращаться по часовой стрелке с угловой скоростью $\omega = \frac{v_{A}}{ \rho_{A}}$, где $\rho_{A} = OA$ - мгновенный радиус вращения точки А. Из рисунка видно, что величина мгновенного радиуса $\rho_{B}$ вращения точки В удовлетворяет соотношениям
$\rho_{A} \cos \alpha = \rho_{B} \cos \beta, \rho_{A} \sin \alpha + \rho_{B} \sin \beta = 2R$,
а потому
$\rho_{A} = \frac{2R \cos \beta }{ \sin ( \alpha + \beta ) }$.
Кроме того, радиус вращения центра диска С в момент времени $t = 0$ равен
$\rho_{C} = \sqrt{R^{2} + \rho_{A}^{2} - 2R \rho_{A} \cos \left ( \frac{ \pi }{2} - \alpha \right )} = R \sqrt{1 + \frac{4 \cos^{2} \beta }{ \sin^{2} ( \alpha + \beta ) } - \frac{4 \cos \beta \sin \alpha }{ \sin ( \alpha + \beta ) } }$,
а скорость этой точки в указанный момент времени направлена так, как показано на рисунке, и ее величина равна
$v_{V} = \rho_{C} \omega$.
По условию задачи диск скользит по гладкой горизонтальной плоскости, является однородным и нет указаний, что он подвергается действию каких-либо иных объектов, кроме плоскости и земли. Поэтому на основании теоремы о движении центра масс можно утверждать, что скорость его центра направлена горизонтально и не зависит от времени, а потому величина его перемещения за время $\tau$ равна $\Delta r = v_{C} \tau$. Окончательный расчет дает
$\Delta r = \frac{v_{A} \tau}{2} \sqrt{ \frac{sin^{2} ( \alpha + \beta )}{ \cos^{2} \beta } + 4 \frac{ \cos ( \alpha + \beta ) \cos \alpha}{ \cos \beta }} = \frac{v_{A} \tau}{ \sqrt{3} }$.
По гладкой горизонтальной плоскости скользит диск радиусом $R$, вырезанный из тонкого однородного листа металла (рис.). В момент времени $t = 0$ величина скорости точки А, расположенной на краю диска, оказалась равной $v_{A}$. При этом скорость диаметрально противоположной крайней точки В диска была направлена вдоль прямой, образующей с диаметром АВ угол $\beta < 0,5 \pi$, а скорость точки А совпадала с прямой, образующей с этим диаметром угол $\alpha < 0,5 \pi$. Найдите величину перемещения $\Delta r$ центра диска к моменту $t = \tau$. Окончательный расчет проведите для $\alpha = 60^{ \circ }$ и $\beta = 30^{ \circ}$.
Решение:
Как это обычно и делается при решении подобных задач, будем считать диск твердым телом. По условию задачи диск совершает плоское движение. Как известно, такое движение твердого тела можно рассматривать как суперпозицию двух движений: поступательного и вращательного вокруг оси, перпендикулярной плоскостям, в которых располагаются траектории точек диска. При этом скорость оси - скорость поступательного движения - зависит от выбора точки, называемой полюсом вращения, через которую проходит ось вращения, в то время как угловая скорость вращения не зависит от выбора полюса. Более того, всегда можно выбрать полюс так, чтобы для данного момента скорость оси вращения была равна нулю. Такую ось называют мгновенной осью вращения. При этом скорость любой точки твердого тела будет направлена перпендикулярно радиусу ее вращения (кратчайшему расстоянию от оси до данной точки) и равна произведению угловой скорости вращения на величину этого радиуса.
В соответствии со сказанным, находим точку О пересечения перпендикуляров к линиям скоростей точек А и В, восставленных из этих точек (рис.). Если из двух возможных по условию задачи направлений скорость точки А в момент времени $t = 0$ направлена так, как показано на рисунке, то диск должен вращаться по часовой стрелке с угловой скоростью $\omega = \frac{v_{A}}{ \rho_{A}}$, где $\rho_{A} = OA$ - мгновенный радиус вращения точки А. Из рисунка видно, что величина мгновенного радиуса $\rho_{B}$ вращения точки В удовлетворяет соотношениям
$\rho_{A} \cos \alpha = \rho_{B} \cos \beta, \rho_{A} \sin \alpha + \rho_{B} \sin \beta = 2R$,
а потому
$\rho_{A} = \frac{2R \cos \beta }{ \sin ( \alpha + \beta ) }$.
Кроме того, радиус вращения центра диска С в момент времени $t = 0$ равен
$\rho_{C} = \sqrt{R^{2} + \rho_{A}^{2} - 2R \rho_{A} \cos \left ( \frac{ \pi }{2} - \alpha \right )} = R \sqrt{1 + \frac{4 \cos^{2} \beta }{ \sin^{2} ( \alpha + \beta ) } - \frac{4 \cos \beta \sin \alpha }{ \sin ( \alpha + \beta ) } }$,
а скорость этой точки в указанный момент времени направлена так, как показано на рисунке, и ее величина равна
$v_{V} = \rho_{C} \omega$.
По условию задачи диск скользит по гладкой горизонтальной плоскости, является однородным и нет указаний, что он подвергается действию каких-либо иных объектов, кроме плоскости и земли. Поэтому на основании теоремы о движении центра масс можно утверждать, что скорость его центра направлена горизонтально и не зависит от времени, а потому величина его перемещения за время $\tau$ равна $\Delta r = v_{C} \tau$. Окончательный расчет дает
$\Delta r = \frac{v_{A} \tau}{2} \sqrt{ \frac{sin^{2} ( \alpha + \beta )}{ \cos^{2} \beta } + 4 \frac{ \cos ( \alpha + \beta ) \cos \alpha}{ \cos \beta }} = \frac{v_{A} \tau}{ \sqrt{3} }$.
