Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15055
2021-03-26 
К грузу, надетому на гладкий горизонтальный стержень, с разных сторон прикреплены две одинаковые легкие пружины жесткостью $k$. Другие концы пружин прикреплены к стенкам так, что оси пружин совпадают с осью стержня и пружины не деформированы. При этом длина каждой пружины равна $L$. В момент времени $t = 0$ правая стенка начинает двигаться влево с постоянной скоростью $v$, скользя по стержню. Найдите массу груза, если за время перемещения стенки на расстояние $L$ скорость груза монотонно росла и стала равной $v$.
Решение:
Из условия задачи следует, что груз будет двигаться поступательно вдоль оси стержня. Поэтому положение груза будем определять вдоль оси X, совпадающей с осью стержня и направленной в сторону движения подвижной стенки. Начало отсчета вдоль этой оси совместим с положением центра масс груза, которую он имел при $t \leq 0$. Поскольку до начала движения правой стенки пружины не были деформированы, можно утверждать, что эта ось покоится относительно инерциального наблюдателя. Тогда при $0 < t \leq \tau$, где $\tau = \frac{L}{v}$, уравнение движения груза будет иметь вид
$mx^{ \prime \prime } = -kx + k (vt - x)$,
где $m$ - масса груза, а $x$ - смещение центра масс (или любой другой фиксированной точки) груза к моменту времени $t$. Приведенное уравнение нужно решить с учетом того, что $x(0) = x^{ \prime } (0) = x^{ \prime \prime} (0) = 0$, так как при $t = 0$ по условию задачи пружины не деформированы. Обозначив $x^{ \prime } = y$, получим уравнение
$my^{ \prime \prime } = -2ky + kv$.
Поскольку $k$ и $v$ не зависят от времени, решение этого уравнения должно иметь вид
$y = y_{0} \cos ( \omega t + \phi ) + C$,
где $\omega = \sqrt{ \frac{2k}{m}}$. Из условий $y_{0} \cos \phi + C = 0$ и $- y_{0} \omega \sin \phi = 0$ получаем $\phi = 0$ и $y_{0} = - C$. Следовательно, $C = 0,5v$, а
$x^{ \prime } (t) = 0,5v (1 - \cos \omega t)$.
При $t = \tau$ по условию задачи $x^{ \prime } ( \tau ) = v$, поэтому
$\omega \tau = \sqrt{ \frac{2k}{m} } \frac{L}{v} = \pi$,
откуда
$m = \frac{2kL^{2}}{ \pi^{2} v^{2} }$.
К грузу, надетому на гладкий горизонтальный стержень, с разных сторон прикреплены две одинаковые легкие пружины жесткостью $k$. Другие концы пружин прикреплены к стенкам так, что оси пружин совпадают с осью стержня и пружины не деформированы. При этом длина каждой пружины равна $L$. В момент времени $t = 0$ правая стенка начинает двигаться влево с постоянной скоростью $v$, скользя по стержню. Найдите массу груза, если за время перемещения стенки на расстояние $L$ скорость груза монотонно росла и стала равной $v$.
Решение:
Из условия задачи следует, что груз будет двигаться поступательно вдоль оси стержня. Поэтому положение груза будем определять вдоль оси X, совпадающей с осью стержня и направленной в сторону движения подвижной стенки. Начало отсчета вдоль этой оси совместим с положением центра масс груза, которую он имел при $t \leq 0$. Поскольку до начала движения правой стенки пружины не были деформированы, можно утверждать, что эта ось покоится относительно инерциального наблюдателя. Тогда при $0 < t \leq \tau$, где $\tau = \frac{L}{v}$, уравнение движения груза будет иметь вид
$mx^{ \prime \prime } = -kx + k (vt - x)$,
где $m$ - масса груза, а $x$ - смещение центра масс (или любой другой фиксированной точки) груза к моменту времени $t$. Приведенное уравнение нужно решить с учетом того, что $x(0) = x^{ \prime } (0) = x^{ \prime \prime} (0) = 0$, так как при $t = 0$ по условию задачи пружины не деформированы. Обозначив $x^{ \prime } = y$, получим уравнение
$my^{ \prime \prime } = -2ky + kv$.
Поскольку $k$ и $v$ не зависят от времени, решение этого уравнения должно иметь вид
$y = y_{0} \cos ( \omega t + \phi ) + C$,
где $\omega = \sqrt{ \frac{2k}{m}}$. Из условий $y_{0} \cos \phi + C = 0$ и $- y_{0} \omega \sin \phi = 0$ получаем $\phi = 0$ и $y_{0} = - C$. Следовательно, $C = 0,5v$, а
$x^{ \prime } (t) = 0,5v (1 - \cos \omega t)$.
При $t = \tau$ по условию задачи $x^{ \prime } ( \tau ) = v$, поэтому
$\omega \tau = \sqrt{ \frac{2k}{m} } \frac{L}{v} = \pi$,
откуда
$m = \frac{2kL^{2}}{ \pi^{2} v^{2} }$.
