Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15054
2021-03-26 
В высокий цилиндрический сосуд с внутренним диаметром $D = 7 см$ налито $m = 50 г$ воды. В сосуд медленно опускают подвешенный на нити стержень массой $M = 5 кг$, имеющий форму прямого кругового цилиндра длиной $L = 218,3 см$. Плотность материала стержня $\rho = 600 кг/м^{3}$. Оси сосуда и стержня вертикальны и совпадают. Найдите изменение силы натяжения подвеса, когда расстояние между нижним основанием стержня и дном сосуда станет равным $h = 3 мм$, по сравнению со случаем, когда стержень еще не касался воды.
Решение:
Изменение силы натяжения подвеса, после того как стержень коснется поверхности воды, обусловлено действием сил со стороны воды на стержень. Поскольку диаметр стержня равен $d = 2 \sqrt{ \frac{M}{ \pi \rho L} }$, толщина зазора между стенками цилиндра и стержнем составляет $\delta = 0,5 (D - d) \simeq 0,1416 мм$ (оси стержня и цилиндра совпадают) и высота столба воды, отсчитываемая от нижнего основания стержня, при заданной толщине слоя воды между нижним основанием стержня и дном цилиндра (без учета капиллярных явлении) равна
$H = \frac{ \frac{m}{ \rho_{в} } - 0,25 \pi D^{2}h }{0,25 \pi (D^{2} - d^{2} ) } \approx 1,238 м$,
где $\rho_{в} = 1 г/ см^{3}$ - плотность воды. Так как в условии задачи не оговорено иное, будем считать, что цилиндр покоится относительно лабораторной системы отсчета и эту систему можно считать инерциальной. Тогда сила натяжения подвеса (считая величину ускорения свободного падения равной $g = 9,81 м/с^{2}$) уменьшится, без учета сил поверхностного натяжения, на величину
$\Delta F = 0,25 \pi d^{2} \rho_{в} gH = Mg \frac{4m - \pi D^{2}h \rho_{в} }{ \pi D^{2} L \rho - 4M } \approx 0,9448Mg \approx 46,34 Н$.
Как известно, давление под искривленной поверхностью жидкости за счет действия сил поверхностного натяжения при условии смачивания стенок меньше (а несмачивания - больше) давления над плоской поверхностью при тех же внешних условиях на величину, определяемую формулой Лапласа:
$\Delta p = \left ( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right ) \sigma$,
где $R_{1}$ и $R_{2}$ - так называемые главные радиусы кривизны поверхности, а $\sigma$ - коэффициент поверхностного натяжения. В рассматриваемом случае при полном смачивании или несмачивании цилиндра и стержня $R_{1} = \frac{ \delta }{2}$, а $R_{2} \approx \frac{D}{2}$. Поскольку $D \gg \delta$, максимальная поправка на изменение силы натяжения подвеса, обусловленная действием сил поверхностного натяжения, при заданном погружении цилиндра должна быть равна
$F_{п} = \frac{2 \sigma}{ \delta } \frac{ \pi d^{2} }{4} = \frac{2 \sigma }{ \frac{D}{2} \sqrt{ \frac{M}{ \pi \rho L} } } \frac{M}{ \rho L} \approx 3,92 Н$
(коэффициент поверхностного натяжения воды при температуре $t = 20^{ \circ } C$ и давлении $p = 760 мм рт. ст.$ равен $\sigma = 0,0728 Н/м$). В этом расчете мы не учитывали силу, с которой на цилиндр действует верхняя кромка жидкости: при смачивании - вниз, а при несмачивании - вверх.
Итак, в зависимости от степени смачивания цилиндра и стержня водой сила натяжения подвеса может уменьшиться на любую величину от $\Delta F - F_{п} = 42,4 Н$ до $Mg \approx 49,05 H$ (нить не может давить на стержень). В последнем случае необходимо считать, что $R_{1} > \frac{ \delta }{2}$, т.е. модуль косинуса краевого угла отличен от единицы.
В высокий цилиндрический сосуд с внутренним диаметром $D = 7 см$ налито $m = 50 г$ воды. В сосуд медленно опускают подвешенный на нити стержень массой $M = 5 кг$, имеющий форму прямого кругового цилиндра длиной $L = 218,3 см$. Плотность материала стержня $\rho = 600 кг/м^{3}$. Оси сосуда и стержня вертикальны и совпадают. Найдите изменение силы натяжения подвеса, когда расстояние между нижним основанием стержня и дном сосуда станет равным $h = 3 мм$, по сравнению со случаем, когда стержень еще не касался воды.
Решение:
Изменение силы натяжения подвеса, после того как стержень коснется поверхности воды, обусловлено действием сил со стороны воды на стержень. Поскольку диаметр стержня равен $d = 2 \sqrt{ \frac{M}{ \pi \rho L} }$, толщина зазора между стенками цилиндра и стержнем составляет $\delta = 0,5 (D - d) \simeq 0,1416 мм$ (оси стержня и цилиндра совпадают) и высота столба воды, отсчитываемая от нижнего основания стержня, при заданной толщине слоя воды между нижним основанием стержня и дном цилиндра (без учета капиллярных явлении) равна
$H = \frac{ \frac{m}{ \rho_{в} } - 0,25 \pi D^{2}h }{0,25 \pi (D^{2} - d^{2} ) } \approx 1,238 м$,
где $\rho_{в} = 1 г/ см^{3}$ - плотность воды. Так как в условии задачи не оговорено иное, будем считать, что цилиндр покоится относительно лабораторной системы отсчета и эту систему можно считать инерциальной. Тогда сила натяжения подвеса (считая величину ускорения свободного падения равной $g = 9,81 м/с^{2}$) уменьшится, без учета сил поверхностного натяжения, на величину
$\Delta F = 0,25 \pi d^{2} \rho_{в} gH = Mg \frac{4m - \pi D^{2}h \rho_{в} }{ \pi D^{2} L \rho - 4M } \approx 0,9448Mg \approx 46,34 Н$.
Как известно, давление под искривленной поверхностью жидкости за счет действия сил поверхностного натяжения при условии смачивания стенок меньше (а несмачивания - больше) давления над плоской поверхностью при тех же внешних условиях на величину, определяемую формулой Лапласа:
$\Delta p = \left ( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right ) \sigma$,
где $R_{1}$ и $R_{2}$ - так называемые главные радиусы кривизны поверхности, а $\sigma$ - коэффициент поверхностного натяжения. В рассматриваемом случае при полном смачивании или несмачивании цилиндра и стержня $R_{1} = \frac{ \delta }{2}$, а $R_{2} \approx \frac{D}{2}$. Поскольку $D \gg \delta$, максимальная поправка на изменение силы натяжения подвеса, обусловленная действием сил поверхностного натяжения, при заданном погружении цилиндра должна быть равна
$F_{п} = \frac{2 \sigma}{ \delta } \frac{ \pi d^{2} }{4} = \frac{2 \sigma }{ \frac{D}{2} \sqrt{ \frac{M}{ \pi \rho L} } } \frac{M}{ \rho L} \approx 3,92 Н$
(коэффициент поверхностного натяжения воды при температуре $t = 20^{ \circ } C$ и давлении $p = 760 мм рт. ст.$ равен $\sigma = 0,0728 Н/м$). В этом расчете мы не учитывали силу, с которой на цилиндр действует верхняя кромка жидкости: при смачивании - вниз, а при несмачивании - вверх.
Итак, в зависимости от степени смачивания цилиндра и стержня водой сила натяжения подвеса может уменьшиться на любую величину от $\Delta F - F_{п} = 42,4 Н$ до $Mg \approx 49,05 H$ (нить не может давить на стержень). В последнем случае необходимо считать, что $R_{1} > \frac{ \delta }{2}$, т.е. модуль косинуса краевого угла отличен от единицы.
