2021-03-26
Тонкая, запаянная с одного конца и изогнутая под прямым углом трубка заполнена ртутью и закреплена на горизонтальной платформе, которая вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси (рис.). При вращении платформы ртуть не выливается и полностью заполняет горизонтальное колено. Открытое колено трубки вертикально. Геометрические размеры установки указаны на рисунке; атмосферное давление $p_{0}$; плотность ртути $\rho$. Найдите давление ртути у запаянного конца трубки.
Решение:
Выделим в горизонтальной части трубки небольшой элемент ртути длиной $dr$, расположенный на произвольном расстоянии $r$ от оси вращения (рис.). Этот элемент вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью $\omega$. Запишем уравнение движения выделенного элемента:
$\rho S \omega^{2}r dr = Sdp$,
где $S$ - площадь поперечного сечения трубки, $dp$ - разность давлений между левым концом элемента ртути и правым. После сокращения на $S$ получим связь между малыми приращениями $dp$ и $dr$:
$dp = \rho \omega^{2} rdr$.
Проинтегрируем обе части этого уравнения и получим
$p = \frac{ \rho \omega^{2} r^{2}}{2} + const$.
Константу определим из условия, что при $r = 3R$ (точка А) давление равно $p_{0} + \rho gH$:
$p_{0} + \rho gH = \frac{9 \rho \omega^{2}R^{2}}{2} + const$,
и получим зависимость $p(r)$:
$p(r) = p_{0} + \rho gH - \frac{9 \rho \omega^{2}R^{2} }{2} + \frac{ \rho \omega^{2}r^{2} }{2}$.
Отсюда найдем давление ртути у запаянного конца трубки ($r = R$):
$p(R) = p_{0} + \rho gH - 4 \rho \omega^{2}R^{2}$.