Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15050
2021-03-26 
U-образная трубка расположена вертикально и заполнена жидкостью. Один конец трубки открыт в атмосферу, а другой конец соединен с сосудом объемом $V_{0} = 0,1 л$, заполненным гелием (рис.). Объем всей трубки равен объему этого сосуда. В некоторый момент гелий начинают медленно нагревать. Какое минимальное количество теплоты необходимо подвести к гелию, чтобы вся жидкость вылилась из трубки? Атмосферное давление $p_{0} = 10^{5} Па$; длины трех колен трубки одинаковы; давление, создаваемое столбом жидкости в вертикальном колене, равно $\frac{ p_{0}}{8}$.
Решение:
Обозначим полную длину трубки через $3L$, а площадь внутреннего поперечного сечения трубки - через $S$. Поскольку объем трубки $V_{0}$, то длина каждого колена
$L = \frac{V_{0} }{3S}$.
Весь процесс нагрева гелия можно разбить на три участка. Первый участок - это когда жидкость еще находится в левом вертикальном колене. Рассмотрим момент времени, когда уровень жидкости в левом колене переместился на величину $z, 0 \leq z \leq L$. Из условия равновесия жидкости в трубке найдем давление гелия:
$p = p_{0} + \rho_{ж} gz$,
где $\rho_{ж}$ - плотность жидкости. На втором участке, для которого $L \leq z \leq 2L$, давление гелия
$p = p_{0} + \rho_{ж}gL = const$,
а на третьем участке, для $2L \leq z \leq 3L$, -
$p = p_{0} + \rho_{ж}g (3L - z)$.
На рисунке изображен график зависимости давления гелия от его объема $V$, который связан со смещением $z$ простым соотношением:
$V = V_{0} + Sz$.
На первых двух участках тепло необходимо подводить к гелию - это однозначно: здесь газ, рис 2 расширяясь, совершает
работу и одновременно нагревается. А вот третий участок неоднозначен: здесь газ также совершает работу, но при этом он может и охлаждаться. Убедимся, что и на этом участке тепло тоже подводится.
Учитывая, что $\rho_{ж}gL = \frac{p_{0}}{8}$, запишем уравнение процесса для третьего участка в виде
$p = \frac{p_{0} }{8} \left ( 14 - 3 \frac{V}{V_{0} } \right )$.
Рассмотрим малое изменение объема $\Delta V$. Тогда работа, совершенная гелием, равна
$\Delta A = p \Delta V = \frac{p_{0} }{8} \left ( 14 - 3 \frac{V}{V_{0}} \right ) \Delta V$.
Запишем уравнение состояния гелия как идеального газа:
$pV = \nu RT$,
где $\nu$ - количество вещества, $T$ - температура газа. Подставим в это уравнение выражение для давления на третьем участке процесса и получим
$\frac{p_{0} }{8} \left ( 14V - 3 \frac{V^{2}}{V_{0}^{2} } \right ) = \nu RT$.
Продифференцируем обе части этого уравнения:
$\frac{p_{0} }{8} \left ( 14 - 6 \frac{V}{V_{0} } \right ) \Delta V = \nu R \Delta T$.
Теперь найдем изменение внутренней энергии гелия при изменении объема на $\Delta V$:
$\Delta U = C_{V} \nu \Delta T = \frac{3}{2} \nu R \Delta T = \frac{3p_{0}}{16} \left ( 14 - 6 \frac{V}{V_{0}} \right ) \Delta V$.
Согласно первому началу термодинамики, подведенное количество теплоты равно сумме изменения внутренней энергии газа и совершенной им работы:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta A = \frac{p_{0} }{8} \left ( 35 - 12 \frac{V}{V_{0}} \right ) \Delta V$.
Легко убедиться, что при $\frac{5}{3} \leq \frac{V}{V_{0} } \leq 2$ и $\Delta V > 0$
$\Delta Q > 0$.
Итак, на всех участках тепло подводится, поэтому полное подведенное к гелию количество теплоты $Q$ найдем как сумму полного изменения внутренней энергии и полной работы, которую совершил гелий:
$Q = (U_{к} - U_{н}) + A$.
Поскольку начальная и конечная температуры равны, соответственно,
$T_{н} = \frac{p_{0}V_{0} }{ \nu R}$ и $T_{к} = \frac{2p_{0}V_{0} }{ \nu R}$.
то изменение внутренней энергии равно
$U_{к} - U_{н} = \frac{3}{2} \nu R (T_{к} - T_{н} ) = \frac{3}{2} p_{0}V_{0}$.
Полную работу найдем как площадь под кривой на рисунке:
$A = \frac{1}{2} \left ( \frac{9}{8}p_{0} + p_{0} \right ) \frac{V_{0} }{3} + \frac{9}{8} p_{0} \frac{V_{0} }{3} + \frac{1}{2} \left ( \frac{9}{8}p_{0} + p_{0} \right ) \frac{V_{0} }{3} = \frac{13}{12} p_{0}V_{0}$.
Тогда окончательно
$Q = \left ( \frac{3}{2} + \frac{13}{12} \right ) p_{0}V_{0} = \frac{31}{12} p_{0}V_{0} \approx 26 Дж$.
U-образная трубка расположена вертикально и заполнена жидкостью. Один конец трубки открыт в атмосферу, а другой конец соединен с сосудом объемом $V_{0} = 0,1 л$, заполненным гелием (рис.). Объем всей трубки равен объему этого сосуда. В некоторый момент гелий начинают медленно нагревать. Какое минимальное количество теплоты необходимо подвести к гелию, чтобы вся жидкость вылилась из трубки? Атмосферное давление $p_{0} = 10^{5} Па$; длины трех колен трубки одинаковы; давление, создаваемое столбом жидкости в вертикальном колене, равно $\frac{ p_{0}}{8}$.
Решение:
Обозначим полную длину трубки через $3L$, а площадь внутреннего поперечного сечения трубки - через $S$. Поскольку объем трубки $V_{0}$, то длина каждого колена
$L = \frac{V_{0} }{3S}$.
Весь процесс нагрева гелия можно разбить на три участка. Первый участок - это когда жидкость еще находится в левом вертикальном колене. Рассмотрим момент времени, когда уровень жидкости в левом колене переместился на величину $z, 0 \leq z \leq L$. Из условия равновесия жидкости в трубке найдем давление гелия:
$p = p_{0} + \rho_{ж} gz$,
где $\rho_{ж}$ - плотность жидкости. На втором участке, для которого $L \leq z \leq 2L$, давление гелия
$p = p_{0} + \rho_{ж}gL = const$,
а на третьем участке, для $2L \leq z \leq 3L$, -
$p = p_{0} + \rho_{ж}g (3L - z)$.
На рисунке изображен график зависимости давления гелия от его объема $V$, который связан со смещением $z$ простым соотношением:
$V = V_{0} + Sz$.
На первых двух участках тепло необходимо подводить к гелию - это однозначно: здесь газ, рис 2 расширяясь, совершает
работу и одновременно нагревается. А вот третий участок неоднозначен: здесь газ также совершает работу, но при этом он может и охлаждаться. Убедимся, что и на этом участке тепло тоже подводится.
Учитывая, что $\rho_{ж}gL = \frac{p_{0}}{8}$, запишем уравнение процесса для третьего участка в виде
$p = \frac{p_{0} }{8} \left ( 14 - 3 \frac{V}{V_{0} } \right )$.
Рассмотрим малое изменение объема $\Delta V$. Тогда работа, совершенная гелием, равна
$\Delta A = p \Delta V = \frac{p_{0} }{8} \left ( 14 - 3 \frac{V}{V_{0}} \right ) \Delta V$.
Запишем уравнение состояния гелия как идеального газа:
$pV = \nu RT$,
где $\nu$ - количество вещества, $T$ - температура газа. Подставим в это уравнение выражение для давления на третьем участке процесса и получим
$\frac{p_{0} }{8} \left ( 14V - 3 \frac{V^{2}}{V_{0}^{2} } \right ) = \nu RT$.
Продифференцируем обе части этого уравнения:
$\frac{p_{0} }{8} \left ( 14 - 6 \frac{V}{V_{0} } \right ) \Delta V = \nu R \Delta T$.
Теперь найдем изменение внутренней энергии гелия при изменении объема на $\Delta V$:
$\Delta U = C_{V} \nu \Delta T = \frac{3}{2} \nu R \Delta T = \frac{3p_{0}}{16} \left ( 14 - 6 \frac{V}{V_{0}} \right ) \Delta V$.
Согласно первому началу термодинамики, подведенное количество теплоты равно сумме изменения внутренней энергии газа и совершенной им работы:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta A = \frac{p_{0} }{8} \left ( 35 - 12 \frac{V}{V_{0}} \right ) \Delta V$.
Легко убедиться, что при $\frac{5}{3} \leq \frac{V}{V_{0} } \leq 2$ и $\Delta V > 0$
$\Delta Q > 0$.
Итак, на всех участках тепло подводится, поэтому полное подведенное к гелию количество теплоты $Q$ найдем как сумму полного изменения внутренней энергии и полной работы, которую совершил гелий:
$Q = (U_{к} - U_{н}) + A$.
Поскольку начальная и конечная температуры равны, соответственно,
$T_{н} = \frac{p_{0}V_{0} }{ \nu R}$ и $T_{к} = \frac{2p_{0}V_{0} }{ \nu R}$.
то изменение внутренней энергии равно
$U_{к} - U_{н} = \frac{3}{2} \nu R (T_{к} - T_{н} ) = \frac{3}{2} p_{0}V_{0}$.
Полную работу найдем как площадь под кривой на рисунке:
$A = \frac{1}{2} \left ( \frac{9}{8}p_{0} + p_{0} \right ) \frac{V_{0} }{3} + \frac{9}{8} p_{0} \frac{V_{0} }{3} + \frac{1}{2} \left ( \frac{9}{8}p_{0} + p_{0} \right ) \frac{V_{0} }{3} = \frac{13}{12} p_{0}V_{0}$.
Тогда окончательно
$Q = \left ( \frac{3}{2} + \frac{13}{12} \right ) p_{0}V_{0} = \frac{31}{12} p_{0}V_{0} \approx 26 Дж$.
