Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15048
2021-03-13 
Из катушки индуктивностью $L$, намотанной на сердечник с большой магнитной проницаемостями, и двух конденсаторов емкостью $C_{1}$ и $C_{2}$ собрана схема, изображенная на рисунке. Один из конденсаторов подключен к половине катушки. В начальный момент времени ток через катушку отсутствует, напряжение на конденсаторе емкостью $C_{1}$ равно $U_{0}$, а конденсатор емкостью $C_{2}$ не заряжен. Нарисуйте график зависимости напряжения на верхнем конденсаторе от времени после замыкания ключа K. Считать, что $C_{1} = C_{2} = C$.
Решение:
Магнитный поток через любой виток катушки один и тот же (нет рассеяния магнитного потока), поэтому напряжение $U_{2}$ на конденсаторе емкостью $C_{2}$ всегда в два раза больше напряжения $U_{1}$ на конденсаторе емкостью $C_{1}$:
$U_{2} = 2U_{1}$.
В начальный момент, т.е. сразу после замыкания ключа, заряды на конденсаторах перераспределяются так, чтобы удовлетворить закону сохранения заряда и записанному соотношению между напряжениями. Таким образом, если $U_{0}^{*}$ - новое напряжение на первом конденсаторе, а $U_{0}^{**}$ - на втором, то
$CU_{0} = CU_{0}^{*} + CU_{0}^{**} = CU_{0}^{*} + 2CU_{0}^{*} = 3CU_{0}^{*}$.
Отсюда
$U_{0}^{*} = \frac{1}{3} U_{0}, U_{0}^{**} = \frac{2}{3} U_{0}$.
Поскольку
$I_{C_{2}} = \frac{dq_{2} }{dt} = \frac{1}{C} \frac{dU_{2}}{dt}$ и $I_{C_{1} } = \frac{1}{C} \frac{d U_{1} }{dt}$,
то (рис.)
$I_{C_{2}} = I = 2I_{C_{1}} = 2I_{C}$.
Суммарный магнитный поток $\Phi$ через все витки равен сумме потоков $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$ через витки левой и правой частей катушки соответственно:
$\Phi = \Phi_{1} + \Phi_{2} = \frac{L}{2} I + \frac{L}{2} (I + I_{C}) = \frac{L}{2} (2I + I_{C} ) = \frac{5}{4} LI$.
Учитывая, что
$\frac{d \Phi}{dt } = - \frac{q_{2}}{C_{2}} = - U_{2}$,
получаем
$\frac{d^{2} U_{2} }{dt^{2} } = - \frac{4}{5LC} U_{2}$.
Это уравнение описывает гармонические колебания с частотой $\omega_{0} = \frac{2}{ \sqrt{5LC} }$. В начальный момент ($t = 0$) $U_{2} = \frac{2}{3} U_{0}$, поэтому окончательно напряжение на верхнем конденсаторе изменяется со временем по закону
$U_{2} = \frac{2}{3} U_{0} \cos \omega_{0} t$.
Период этих колебаний равен
$T_{0} = \frac{2 \pi }{ \omega_{0} } = \pi \sqrt{5LC }$.
График функции $U_{2} (t)$ представлен на рисунке.
Таким образом, рассматриваемая система эквивалентна стандартному колебательному контуру с той же индуктивностью $L$, но с емкостью, равной $\frac{5}{4}C$. Напряжение на катушке эквивалентного контура в начальный момент равно $\frac{2}{3} U_{0}$.
Из катушки индуктивностью $L$, намотанной на сердечник с большой магнитной проницаемостями, и двух конденсаторов емкостью $C_{1}$ и $C_{2}$ собрана схема, изображенная на рисунке. Один из конденсаторов подключен к половине катушки. В начальный момент времени ток через катушку отсутствует, напряжение на конденсаторе емкостью $C_{1}$ равно $U_{0}$, а конденсатор емкостью $C_{2}$ не заряжен. Нарисуйте график зависимости напряжения на верхнем конденсаторе от времени после замыкания ключа K. Считать, что $C_{1} = C_{2} = C$.
Решение:
Магнитный поток через любой виток катушки один и тот же (нет рассеяния магнитного потока), поэтому напряжение $U_{2}$ на конденсаторе емкостью $C_{2}$ всегда в два раза больше напряжения $U_{1}$ на конденсаторе емкостью $C_{1}$:
$U_{2} = 2U_{1}$.
В начальный момент, т.е. сразу после замыкания ключа, заряды на конденсаторах перераспределяются так, чтобы удовлетворить закону сохранения заряда и записанному соотношению между напряжениями. Таким образом, если $U_{0}^{*}$ - новое напряжение на первом конденсаторе, а $U_{0}^{**}$ - на втором, то
$CU_{0} = CU_{0}^{*} + CU_{0}^{**} = CU_{0}^{*} + 2CU_{0}^{*} = 3CU_{0}^{*}$.
Отсюда
$U_{0}^{*} = \frac{1}{3} U_{0}, U_{0}^{**} = \frac{2}{3} U_{0}$.
Поскольку
$I_{C_{2}} = \frac{dq_{2} }{dt} = \frac{1}{C} \frac{dU_{2}}{dt}$ и $I_{C_{1} } = \frac{1}{C} \frac{d U_{1} }{dt}$,
то (рис.)
$I_{C_{2}} = I = 2I_{C_{1}} = 2I_{C}$.
Суммарный магнитный поток $\Phi$ через все витки равен сумме потоков $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$ через витки левой и правой частей катушки соответственно:
$\Phi = \Phi_{1} + \Phi_{2} = \frac{L}{2} I + \frac{L}{2} (I + I_{C}) = \frac{L}{2} (2I + I_{C} ) = \frac{5}{4} LI$.
Учитывая, что
$\frac{d \Phi}{dt } = - \frac{q_{2}}{C_{2}} = - U_{2}$,
получаем
$\frac{d^{2} U_{2} }{dt^{2} } = - \frac{4}{5LC} U_{2}$.
Это уравнение описывает гармонические колебания с частотой $\omega_{0} = \frac{2}{ \sqrt{5LC} }$. В начальный момент ($t = 0$) $U_{2} = \frac{2}{3} U_{0}$, поэтому окончательно напряжение на верхнем конденсаторе изменяется со временем по закону
$U_{2} = \frac{2}{3} U_{0} \cos \omega_{0} t$.
Период этих колебаний равен
$T_{0} = \frac{2 \pi }{ \omega_{0} } = \pi \sqrt{5LC }$.
График функции $U_{2} (t)$ представлен на рисунке.
Таким образом, рассматриваемая система эквивалентна стандартному колебательному контуру с той же индуктивностью $L$, но с емкостью, равной $\frac{5}{4}C$. Напряжение на катушке эквивалентного контура в начальный момент равно $\frac{2}{3} U_{0}$.
