Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15046
2021-03-13 
С одной пластины изначально незаряженного конденсатора, соединенного с катушкой индуктивности, мгновенно отделяется заряд $q$, локализованный в тонком слое вещества, и затем движется поступательно как единое целое с постоянной скоростью $v$ по направлению к противоположной пластине. Найдите зависимость тока в цепи от времени, пока слой движется внутри конденсатора. Расстояние между пластинами конденсатора $d$, площадь пластин $S$, индуктивностью катушки $L$.
Решение:
Пусть расстояние от левой обкладки конденсатора до отделившегося слоя в некоторый момент времени равно $x$ (рис.), а заряды левой и правой обкладок составляют $q_{1}$ и $q_{2}$ соответственно. Из закона сохранения заряда следует, что
$- q = q_{1} + q_{2}$.
Напряжение на конденсаторе равно
$U = E_{1}x + E_{2} (d - x)$,
где
$E_{1} = \frac{q_{1} }{2 \epsilon_{0}S } - \frac{q_{2} }{2 \epsilon_{0}S } - \frac{q}{2 \epsilon_{0}S }$
- напряженность электрического поля между заряженным слоем и левой обкладкой, а
$E_{2} = \frac{q_{1} }{2 \epsilon_{0}S } - \frac{q_{2} }{2 \epsilon_{0}S } + \frac{q}{2 \epsilon_{0}S }$
- напряженность поля между слоем и правой обкладкой. Таким образом, получаем
$U = \frac{q + 2q_{1}}{2 \epsilon_{0}S }d + \frac{q}{2 \epsilon_{0}S } (d - 2x)$
Приравняем напряжение на конденсаторе к ЭДС самоиндукции катушки:
$- L \frac{dI}{dt} = \frac{q + 2 q_{1} }{2 \epsilon_{0}S } d + \frac{q}{2 \epsilon_{0}S }(d - 2x)$.
где $I$ - ток текущий через катушку. Продифференцируем это уравнение по времени и, учитывая, что $v = x^{ \prime}$ и $I = q_{1}^{ \prime}$, найдем
$LI^{ \prime \prime } = - \frac{Id}{ \epsilon_{0}S } + \frac{qv}{ \epsilon_{0}S }$,
или
$I^{ \prime \prime } = - \frac{d}{ \epsilon_{0}SL } \left ( I - \frac{qv}{d} \right )$.
Обозначим $y = I - \frac{qv}{d}$, тогда получим
$y^{ \prime \prime } = - \frac{d}{ \epsilon_{0}SL } y$.
Это знакомое нам уже уравнение гармонического осциллятора. Решением его является функция
$I - \frac{qv}{d} = I_{m} \cos ( \omega t + \phi )$, где $\omega^{2} = \frac{d}{ \epsilon_{0}SL }$.
Учитывая, что в начальный момент ($t = 0$) $I = 0$ и $L \frac{dI}{dt} = 0$, получаем, что $I_{m} = - \frac{qv}{d}$ и $\phi = 0$. Таким образом, при $t \leq \frac{d}{v}$ ток в цепи изменяется по закону
$I(t) = \frac{qv}{d} ( 1 - \cos \omega t)$, где $\omega = \sqrt{ \frac{d}{ \epsilon_{0}SL } } $.
Заметим, что изменения тока со временем можно считать колебаниями, если $\frac{d}{v} > 2 \pi \sqrt{ \frac{ \epsilon_{0} SL}{d}}$. В рассматриваемом нестандартном контуре движение заряженного слоя с постоянной скоростью не влияет на период возникших колебаний, однако это движение вызывает эти колебания и определяет их амплитуду.
С одной пластины изначально незаряженного конденсатора, соединенного с катушкой индуктивности, мгновенно отделяется заряд $q$, локализованный в тонком слое вещества, и затем движется поступательно как единое целое с постоянной скоростью $v$ по направлению к противоположной пластине. Найдите зависимость тока в цепи от времени, пока слой движется внутри конденсатора. Расстояние между пластинами конденсатора $d$, площадь пластин $S$, индуктивностью катушки $L$.
Решение:
Пусть расстояние от левой обкладки конденсатора до отделившегося слоя в некоторый момент времени равно $x$ (рис.), а заряды левой и правой обкладок составляют $q_{1}$ и $q_{2}$ соответственно. Из закона сохранения заряда следует, что
$- q = q_{1} + q_{2}$.
Напряжение на конденсаторе равно
$U = E_{1}x + E_{2} (d - x)$,
где
$E_{1} = \frac{q_{1} }{2 \epsilon_{0}S } - \frac{q_{2} }{2 \epsilon_{0}S } - \frac{q}{2 \epsilon_{0}S }$
- напряженность электрического поля между заряженным слоем и левой обкладкой, а
$E_{2} = \frac{q_{1} }{2 \epsilon_{0}S } - \frac{q_{2} }{2 \epsilon_{0}S } + \frac{q}{2 \epsilon_{0}S }$
- напряженность поля между слоем и правой обкладкой. Таким образом, получаем
$U = \frac{q + 2q_{1}}{2 \epsilon_{0}S }d + \frac{q}{2 \epsilon_{0}S } (d - 2x)$
Приравняем напряжение на конденсаторе к ЭДС самоиндукции катушки:
$- L \frac{dI}{dt} = \frac{q + 2 q_{1} }{2 \epsilon_{0}S } d + \frac{q}{2 \epsilon_{0}S }(d - 2x)$.
где $I$ - ток текущий через катушку. Продифференцируем это уравнение по времени и, учитывая, что $v = x^{ \prime}$ и $I = q_{1}^{ \prime}$, найдем
$LI^{ \prime \prime } = - \frac{Id}{ \epsilon_{0}S } + \frac{qv}{ \epsilon_{0}S }$,
или
$I^{ \prime \prime } = - \frac{d}{ \epsilon_{0}SL } \left ( I - \frac{qv}{d} \right )$.
Обозначим $y = I - \frac{qv}{d}$, тогда получим
$y^{ \prime \prime } = - \frac{d}{ \epsilon_{0}SL } y$.
Это знакомое нам уже уравнение гармонического осциллятора. Решением его является функция
$I - \frac{qv}{d} = I_{m} \cos ( \omega t + \phi )$, где $\omega^{2} = \frac{d}{ \epsilon_{0}SL }$.
Учитывая, что в начальный момент ($t = 0$) $I = 0$ и $L \frac{dI}{dt} = 0$, получаем, что $I_{m} = - \frac{qv}{d}$ и $\phi = 0$. Таким образом, при $t \leq \frac{d}{v}$ ток в цепи изменяется по закону
$I(t) = \frac{qv}{d} ( 1 - \cos \omega t)$, где $\omega = \sqrt{ \frac{d}{ \epsilon_{0}SL } } $.
Заметим, что изменения тока со временем можно считать колебаниями, если $\frac{d}{v} > 2 \pi \sqrt{ \frac{ \epsilon_{0} SL}{d}}$. В рассматриваемом нестандартном контуре движение заряженного слоя с постоянной скоростью не влияет на период возникших колебаний, однако это движение вызывает эти колебания и определяет их амплитуду.
