Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15045
2021-03-13 
Проводящий шар радиусом $r$ через катушку индуктивностью $L$ соединен с землей (рис.). Из бесконечности на него налетает пучок электронов. Определите максимальный заряд шара и нарисуйте график зависимости силы тока, текущего через катушку, от времени. Изначально шар заряжен не был, концентрация электронов в налетающем пучке $n$, а их скорость $v \ll c$, где $c$ - скорость света.
Решение:
Пусть $Q$ - заряд шара в некоторый момент времени, $I$ - ток, стекающий с шара. Тогда можно записать уравнение
$L \frac{dI}{dt} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r }$.
Приращение заряда шара равно $dQ = dQ_{п} + dQ_{L}$, где $dQ_{п} = ne \pi r^{2}vdt$ - приращение за счет налетающего электронного пучка, $dQ_{L} = - Idt$ - заряд, стекающий через катушку. Таким образом,
$dQ = ne \pi r^{2} vdt - Idt$.
Дифференцируя это выражение по времени, с учетом первого уравнения получим
$Q^{ \prime \prime} = - \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}rL}Q$.
Это уравнение описывает гармонические колебания с частотой $\omega = \frac{1}{ \sqrt{4 \pi \epsilon_{0}rL } }$. В начальный момент (при $t = 0$) $Q = 0$ и $\frac{dQ}{dt} = ne \pi r^{2}v$, откуда
$Q = Q_{max} \sin \omega t$,
где максимальный заряд шара есть
$Q_{max} = ne \pi r^{2} v \sqrt{ 4 \pi \epsilon_{0}rL }$.
Дифференцируя полученную функцию $Q (t)$ по времени, найдем ток, текущий через катушку:
$I = ne \pi r^{2}v (1 - \cos \omega t)$.
График этой функции изображен на рисунке, где
$T = \frac{2 \pi}{ \omega } = 2 \pi \sqrt{4 \pi \epsilon_{0}rL}$ и $I_{m} = ne \pi r^{2}v$.
В рассмотренном контуре конденсатор представляет собой проводящий шар. Емкость этого конденсатора равна $C = 4 \pi \epsilon_{0}r$, поэтому полученную формулу для периода колебаний можно представить в обычном виде:
$T = 2 \pi \sqrt{4 \pi \epsilon_{0} rL} = 2 \pi \sqrt{LC}$.
Заметим, что в идеальном колебательном контуре конденсатор заряжается и разряжается через катушку индуктивности, а здесь конденсатор разряжается через катушку, а заряжается посредством потока электронов.
Проводящий шар радиусом $r$ через катушку индуктивностью $L$ соединен с землей (рис.). Из бесконечности на него налетает пучок электронов. Определите максимальный заряд шара и нарисуйте график зависимости силы тока, текущего через катушку, от времени. Изначально шар заряжен не был, концентрация электронов в налетающем пучке $n$, а их скорость $v \ll c$, где $c$ - скорость света.
Решение:
Пусть $Q$ - заряд шара в некоторый момент времени, $I$ - ток, стекающий с шара. Тогда можно записать уравнение
$L \frac{dI}{dt} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r }$.
Приращение заряда шара равно $dQ = dQ_{п} + dQ_{L}$, где $dQ_{п} = ne \pi r^{2}vdt$ - приращение за счет налетающего электронного пучка, $dQ_{L} = - Idt$ - заряд, стекающий через катушку. Таким образом,
$dQ = ne \pi r^{2} vdt - Idt$.
Дифференцируя это выражение по времени, с учетом первого уравнения получим
$Q^{ \prime \prime} = - \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}rL}Q$.
Это уравнение описывает гармонические колебания с частотой $\omega = \frac{1}{ \sqrt{4 \pi \epsilon_{0}rL } }$. В начальный момент (при $t = 0$) $Q = 0$ и $\frac{dQ}{dt} = ne \pi r^{2}v$, откуда
$Q = Q_{max} \sin \omega t$,
где максимальный заряд шара есть
$Q_{max} = ne \pi r^{2} v \sqrt{ 4 \pi \epsilon_{0}rL }$.
Дифференцируя полученную функцию $Q (t)$ по времени, найдем ток, текущий через катушку:
$I = ne \pi r^{2}v (1 - \cos \omega t)$.
График этой функции изображен на рисунке, где
$T = \frac{2 \pi}{ \omega } = 2 \pi \sqrt{4 \pi \epsilon_{0}rL}$ и $I_{m} = ne \pi r^{2}v$.
В рассмотренном контуре конденсатор представляет собой проводящий шар. Емкость этого конденсатора равна $C = 4 \pi \epsilon_{0}r$, поэтому полученную формулу для периода колебаний можно представить в обычном виде:
$T = 2 \pi \sqrt{4 \pi \epsilon_{0} rL} = 2 \pi \sqrt{LC}$.
Заметим, что в идеальном колебательном контуре конденсатор заряжается и разряжается через катушку индуктивности, а здесь конденсатор разряжается через катушку, а заряжается посредством потока электронов.
