Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15044
2021-03-13 
Колебательный контур содержит конденсатор с «утечкой». Это значит, что небольшая часть заряда, поступающего на одну из обкладок конденсатора, проходит через диэлектрик на другую обкладку. Емкость конденсатора $C$, сопротивление среды между пластинами конденсатора $R$, индуктивность катушки $L$. Пренебрегая сопротивлением катушки и соединительных проводов, выведите уравнение свободных колебаний контура. Найдите период этих колебаний.
Решение:
На рисунке изображен рассматриваемый в задаче нестандартный контур, где $I$ - ток, текущий через катушку,$I_{y}$ - ток утечки конденсатора. Приравнивая напряжение на конденсаторе к ЭДС самоиндукции катушки, получаем
$U = -L \frac{dI}{dt} = - LI^{ \prime}$.
Заряд конденсатора связан с напряжением на нем известным соотношением
$Q = CU$.
Согласно закону сохранения заряда,
$Q^{ \prime } = I - I_{y}$,
По закону Ома,
$U = I_{y}R$.
Из полученных соотношений находим уравнение свободных колебаний:
$Q^{ \prime \prime} + \frac{1}{RC}Q^{ \prime } + \frac{1}{LC}Q = 0$.
Из этого уравнения видно, что при больших $R$ получается рассмотренное выше уравнение гармонических колебаний идеального контура с частотой $\omega_{0} = \frac{1}{ \sqrt{LC} }$. В остальных случаях наше уравнение описывает затухающие колебания. Решением этого уравнения является функция
$Q = Q_{m} e^{- \delta t} \cos ( \omega t + \phi )$,
где
$\delta = \frac{1}{2RC}, \omega^{2} = \omega_{0}^{2} - \delta^{2}$.
В этом можно убедиться методом подстановки.
Итак, в рассматриваемом контуре происходят свободные колебания с периодом
$T = \frac{2 \pi}{ \omega} = \frac{2 \pi}{ \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \delta^{2} } }$.
несколько большем, чем период собственных колебаний в идеальном контуре. Такие затухающие колебания имеют место при условии, что $\omega_{0}^{2} > \delta^{2}$, т.е. $R > \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{L}{C} }$. А вот при $R \gg \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{L}{C} }$ проводимостью конденсатора можно пренебречь и считать колебательный контур идеальным.
Колебательный контур содержит конденсатор с «утечкой». Это значит, что небольшая часть заряда, поступающего на одну из обкладок конденсатора, проходит через диэлектрик на другую обкладку. Емкость конденсатора $C$, сопротивление среды между пластинами конденсатора $R$, индуктивность катушки $L$. Пренебрегая сопротивлением катушки и соединительных проводов, выведите уравнение свободных колебаний контура. Найдите период этих колебаний.
Решение:
На рисунке изображен рассматриваемый в задаче нестандартный контур, где $I$ - ток, текущий через катушку,$I_{y}$ - ток утечки конденсатора. Приравнивая напряжение на конденсаторе к ЭДС самоиндукции катушки, получаем
$U = -L \frac{dI}{dt} = - LI^{ \prime}$.
Заряд конденсатора связан с напряжением на нем известным соотношением
$Q = CU$.
Согласно закону сохранения заряда,
$Q^{ \prime } = I - I_{y}$,
По закону Ома,
$U = I_{y}R$.
Из полученных соотношений находим уравнение свободных колебаний:
$Q^{ \prime \prime} + \frac{1}{RC}Q^{ \prime } + \frac{1}{LC}Q = 0$.
Из этого уравнения видно, что при больших $R$ получается рассмотренное выше уравнение гармонических колебаний идеального контура с частотой $\omega_{0} = \frac{1}{ \sqrt{LC} }$. В остальных случаях наше уравнение описывает затухающие колебания. Решением этого уравнения является функция
$Q = Q_{m} e^{- \delta t} \cos ( \omega t + \phi )$,
где
$\delta = \frac{1}{2RC}, \omega^{2} = \omega_{0}^{2} - \delta^{2}$.
В этом можно убедиться методом подстановки.
Итак, в рассматриваемом контуре происходят свободные колебания с периодом
$T = \frac{2 \pi}{ \omega} = \frac{2 \pi}{ \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \delta^{2} } }$.
несколько большем, чем период собственных колебаний в идеальном контуре. Такие затухающие колебания имеют место при условии, что $\omega_{0}^{2} > \delta^{2}$, т.е. $R > \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{L}{C} }$. А вот при $R \gg \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{L}{C} }$ проводимостью конденсатора можно пренебречь и считать колебательный контур идеальным.
