Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15040
2021-03-13 
Тело брошено под углом к горизонту с высокого обрыва из точки О (рис.). Из-за сопротивления воздуха разность времени подъема тела до наибольшей высоты и времени возврата на прежний уровень в точку А составляет $\tau$. В точке А вертикальная составляющая скорости на $\Delta v$ меньше вертикальной составляющей скорости в точке старта, а горизонтальная составляющая равна $v_{Ax}$. На какую высоту от линии горизонта ОА поднялось тело, если наибольшее удаление его по горизонтали от точки А за все время полета составило $\Delta L_{0}$? Сила сопротивления движению тела в воздухе прямо пропорциональна его скорости.
Решение:
Горизонтальная составляющая скорости в точке А равна $v_{xA}$, а максимальное горизонтальное смещение после прохождения точки А составляет $\Delta L_{0}$. Значит, эта скорость гасится полностью силой сопротивления воздуха. Запишем уравнение динамики в проекции на горизонтальную ось:
$m \frac{dv_{x} }{dt} = - kv_{x}$,
где $k$ - коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и скоростью. Умножая на приращение времени $dt$, получаем пропорциональность дифференциалов:
$mdv_{x} = -kdx$, или $- \frac{m}{k} dv_{x} = dx$.
Суммируя, перейдем к конечным приращениям:
$\frac{m}{k} v_{Ax} = \Delta L_{0}$, или $\frac{m}{k} = \frac{ \Delta L_{0} }{v_{Ax} }$,
Теперь запишем уравнения динамики в проекции на вертикальную ось для движения тела вверх и вниз:
$m \frac{dv_{y}}{dt} = - kv_{y} - mg, m \frac{dv_{y}}{dt} = - kv_{y} + mg$.
Умножим на приращение времени и получим для движения вверх и для движения вниз, соответственно,
$mdv_{y} = -kdy - mgdt$,
$mdv_{y} = -kdy + mgdt$.
Для всего пути запишем
$-mv_{Oy} = -kH - mgt_{1}, mv_{Ay} = -kH + mgt_{2}$.
Складывая эти уравнения получим
$-m \Delta v = -2kH + mg \tau$.
Отсюда найдем искомую величину:
$H = \frac{m}{k} \frac{ \Delta v + g \tau }{2} = \frac{ \Delta L_{0} }{v_{Ax} } \frac{ \Delta v + g \tau }{2}$.
Тело брошено под углом к горизонту с высокого обрыва из точки О (рис.). Из-за сопротивления воздуха разность времени подъема тела до наибольшей высоты и времени возврата на прежний уровень в точку А составляет $\tau$. В точке А вертикальная составляющая скорости на $\Delta v$ меньше вертикальной составляющей скорости в точке старта, а горизонтальная составляющая равна $v_{Ax}$. На какую высоту от линии горизонта ОА поднялось тело, если наибольшее удаление его по горизонтали от точки А за все время полета составило $\Delta L_{0}$? Сила сопротивления движению тела в воздухе прямо пропорциональна его скорости.
Решение:
Горизонтальная составляющая скорости в точке А равна $v_{xA}$, а максимальное горизонтальное смещение после прохождения точки А составляет $\Delta L_{0}$. Значит, эта скорость гасится полностью силой сопротивления воздуха. Запишем уравнение динамики в проекции на горизонтальную ось:
$m \frac{dv_{x} }{dt} = - kv_{x}$,
где $k$ - коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и скоростью. Умножая на приращение времени $dt$, получаем пропорциональность дифференциалов:
$mdv_{x} = -kdx$, или $- \frac{m}{k} dv_{x} = dx$.
Суммируя, перейдем к конечным приращениям:
$\frac{m}{k} v_{Ax} = \Delta L_{0}$, или $\frac{m}{k} = \frac{ \Delta L_{0} }{v_{Ax} }$,
Теперь запишем уравнения динамики в проекции на вертикальную ось для движения тела вверх и вниз:
$m \frac{dv_{y}}{dt} = - kv_{y} - mg, m \frac{dv_{y}}{dt} = - kv_{y} + mg$.
Умножим на приращение времени и получим для движения вверх и для движения вниз, соответственно,
$mdv_{y} = -kdy - mgdt$,
$mdv_{y} = -kdy + mgdt$.
Для всего пути запишем
$-mv_{Oy} = -kH - mgt_{1}, mv_{Ay} = -kH + mgt_{2}$.
Складывая эти уравнения получим
$-m \Delta v = -2kH + mg \tau$.
Отсюда найдем искомую величину:
$H = \frac{m}{k} \frac{ \Delta v + g \tau }{2} = \frac{ \Delta L_{0} }{v_{Ax} } \frac{ \Delta v + g \tau }{2}$.
