2016-11-27
Определить толщину слоя жидкости, разлитой па горизонтальной плоскости. Краевой угол $\theta$, плотность жидкости $\rho$, поверхностное натяжение $\sigma$.
Решение:
Рассмотрим условие равновесия мысленно выделенного тонкого слоя жидкости, разрез которого на рисунке заштрихован. Толщину слоя (в направлении, перпендикулярном рисунку) обозначим через $l$. Для краткости атмосферное давление не учитываем.
Кроме изображенных на рисунке сил поверхностного натяжения $F_{1}$ и $F_{2}$ и силы давления $N$ со стороны соседних частей жидкости, на выделенный объем действуют силы давления, перпендикулярные плоскости рисунка, а также сила давления со стороны горизонтальной поверхности. Эти последние силы направлены перпендикулярно оси х, так что их проекции на ось х равны нулю.
Запишем условие равновесия выделенного объема в проекции на ось х:
$-F_{1} \cos \theta + F_{2} - N = 0$. (1)
Для сил поверхностного натяжения имеем:
$F_{1} = F_{2} = \sigma l$. (2)
Силу давления $N$ на площадь $l \cdot N$ можно рассчитать, используя зависимость давления в жидкости от глубины $h$ от верхней поверхности жидкости $P = \rho gh$. Поскольку зависимость линейная,
$N = \frac{1}{2} \cdot \rho g H \cdot Hl$ (3)
( $\frac{1}{2} \rho gH$ — среднее давление).
Подставляя (2,3) в (1), после несложных преобразований получим:
$H = \sqrt{ 2 \frac{ \sigma ( 1 - \cos \theta)}{ \rho g}} - 2 \sin \frac{ \theta}{2} \sqrt{ \frac{ \sigma}{ \rho g}}$.
Видно, что при $\theta = 0$ (полное смачивание) $H = 0$, то есть жидкость растечется по поверхности. При $\theta = \pi$ (полное несмачивание) $H$ максимальна.
Учет атмосферного давления сводится к тому, что на выделенный объем справа налево и слева направо будут действовать одинаковые силы $P_{0} lH$ ($P_{0}$ — атмосферное давление), друг друга компенсирующие. Таким образом, проведенное решение остается в силе.