Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15037
2021-03-13 
Две частицы с одинаковыми массами $m$ и зарядами $q$, равными по модулю, но противоположными по знаку, помещены в однородное магнитное поле, индукция которого В перпендикулярна отрезку $R$, соединяющему заряды. Найдите расстояние между частицами в момент наибольшего сближения, если их стартовые скорости нулевые. Индукция магнитного поля достаточна для предотвращения столкновения.
Решение:
Пусть ось X направлена по линии, соединяющей заряды. Вдоль этой оси действуют силы кулоновского притяжения, разгоняющие частицы. Прирост кинетической энергии частиц определяется убылью потенциальной энергии кулоновского притяжения:
$2 \frac{mv^{2} }{2} = - kq^{2} \left ( \frac{1}{R} - \frac{1}{r} \right )$,
откуда
$v = q \sqrt{ \frac{k}{m} \left ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right ) }$.
Сила Лоренца, перпендикулярная скорости, изменяет ее направление. Проекция ускорения частиц на ось Y обусловлена соответствующей проекцией силы Лоренца:
$m \frac{dv_{y}}{dt} = F_{Лy}$, или $m \frac{dv_{y}}{dt} = qBv_{x}$.
Умножая на приращение времени, получим
$dv_{y} = \frac{qB}{m}dx$
- между изменением проекции скорости и сближением частиц зависимость пропорциональная. Для конечных приращений учтем следующее. Частицы не столкнутся, если успеют выйти на параллельные курсы вдоль оси Y при $R - r > 0$. Конечные приращения для этого условия равны $\sum dv_{y} = v$ и $\sum dx = \frac{R - r}{2} > 0$. Тогда
$v = \frac{qB}{2m} (R - r)$.
С учетом найденного ранее выражения для скорости $v$, получим зависимость минимального сближения частиц $r$ от начального расстояния и индукции магнитного поля. Действительно,
$\frac{q^{2}B^{2} (R - r)^{2}}{4m^{2} } = \frac{q^{2}k(R - r)}{mRr}$,
сократим и приведем к квадратному уравнению, подставив $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} }$:
$r^{2} - Rr + \frac{m}{ \pi \epsilon_{0} B^{2}R } = 0$, и $r = \frac{R}{2} \left ( 1 \pm \sqrt{1 - \frac{4m}{ \pi \epsilon_{0}B^{2}R^{3} } } \right )$.
Положительный дискриминант определяет значение индукции магнитного поля, предотвращающее столкновение частиц. При этом для $r$ выбирается больший корень, так как при достижении этого расстояния сближение частиц прекращается. Магнитная и кулоновская силы, действующие на частицу, компенсируются. Окончательно получим
$r = \frac{R}{2} \left ( 1 + \sqrt{1 - \frac{4m}{ \pi \epsilon_{0}B^{2}R^{3} } } \right )$.
Две частицы с одинаковыми массами $m$ и зарядами $q$, равными по модулю, но противоположными по знаку, помещены в однородное магнитное поле, индукция которого В перпендикулярна отрезку $R$, соединяющему заряды. Найдите расстояние между частицами в момент наибольшего сближения, если их стартовые скорости нулевые. Индукция магнитного поля достаточна для предотвращения столкновения.
Решение:
Пусть ось X направлена по линии, соединяющей заряды. Вдоль этой оси действуют силы кулоновского притяжения, разгоняющие частицы. Прирост кинетической энергии частиц определяется убылью потенциальной энергии кулоновского притяжения:
$2 \frac{mv^{2} }{2} = - kq^{2} \left ( \frac{1}{R} - \frac{1}{r} \right )$,
откуда
$v = q \sqrt{ \frac{k}{m} \left ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right ) }$.
Сила Лоренца, перпендикулярная скорости, изменяет ее направление. Проекция ускорения частиц на ось Y обусловлена соответствующей проекцией силы Лоренца:
$m \frac{dv_{y}}{dt} = F_{Лy}$, или $m \frac{dv_{y}}{dt} = qBv_{x}$.
Умножая на приращение времени, получим
$dv_{y} = \frac{qB}{m}dx$
- между изменением проекции скорости и сближением частиц зависимость пропорциональная. Для конечных приращений учтем следующее. Частицы не столкнутся, если успеют выйти на параллельные курсы вдоль оси Y при $R - r > 0$. Конечные приращения для этого условия равны $\sum dv_{y} = v$ и $\sum dx = \frac{R - r}{2} > 0$. Тогда
$v = \frac{qB}{2m} (R - r)$.
С учетом найденного ранее выражения для скорости $v$, получим зависимость минимального сближения частиц $r$ от начального расстояния и индукции магнитного поля. Действительно,
$\frac{q^{2}B^{2} (R - r)^{2}}{4m^{2} } = \frac{q^{2}k(R - r)}{mRr}$,
сократим и приведем к квадратному уравнению, подставив $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} }$:
$r^{2} - Rr + \frac{m}{ \pi \epsilon_{0} B^{2}R } = 0$, и $r = \frac{R}{2} \left ( 1 \pm \sqrt{1 - \frac{4m}{ \pi \epsilon_{0}B^{2}R^{3} } } \right )$.
Положительный дискриминант определяет значение индукции магнитного поля, предотвращающее столкновение частиц. При этом для $r$ выбирается больший корень, так как при достижении этого расстояния сближение частиц прекращается. Магнитная и кулоновская силы, действующие на частицу, компенсируются. Окончательно получим
$r = \frac{R}{2} \left ( 1 + \sqrt{1 - \frac{4m}{ \pi \epsilon_{0}B^{2}R^{3} } } \right )$.
