Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15035
2021-03-13 
Цепочку массой $m$ и длиной $l$ подвесили за два конца к потолку. При этом оказалось, что в местах закрепления цепочка образует уголы $\alpha$ с вертикалью. Найдите расстояние $H_{0}$ от нижней точки цепочки до потолка.
Решение:
Пусть сила натяжения в нижней точке цепочки $T_{O}$, а в точке подвеса $T_{A}$ (рис.). К половине цепочки еще приложена сила тяжести $\frac{mg}{2}$. Запишем условие равновесия сил, действующих на половину цепочки, в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:
$T_{O} - T_{A} \sin \alpha = 0$,
$T_{A} \cos \alpha - \frac{mg}{2} = 0$.
Отсюда
$T_{A} = \frac{mg}{ 2 \cos \alpha }$ и $T_{O} = \frac{mg}{2} tg \alpha$.
Для любого промежуточного звена цепочки, образующего с вертикалью угол $\phi$, который меняется от $90^{ \circ}$ вблизи точки О до а вблизи точки А, можно записать условие равновесия для проекций сил на направление звена. Пусть длина звена $dl$, тогда его сила тяжести равна $dP = \frac{mg}{l}dl$. Прирост силы натяжения на элементе звена равен $dT = \frac{mg}{l} dl \cos \phi$. Обртим внимание на то, что $dl \cos \phi = dh$ определяет прирост высоты на элементе звена. Тогда
$dT = \frac{mg}{l} dh$.
Мы получили связь между приростом высоты и приростом модуля силы натяжения в виде пропорциональности дифференциалов. Суммируя, получаем $\sum dh = H_{0}$ - высоту провиса и $\sum dT = T_{A} - T_{O}$ - разность модулей сил натяжения. Таким образом,
$T_{A} - T_{O} = \frac{mg}{l} H_{0}$,
или
$\frac{mg}{2} \left ( \frac{1}{ \cos \alpha} - tg \alpha \right ) = \frac{mg}{l} H_{0}$.
Отсюда находим
$H_{0} = \frac{l(1 - \sin \alpha )}{2 \cos \alpha }$.
Цепочку массой $m$ и длиной $l$ подвесили за два конца к потолку. При этом оказалось, что в местах закрепления цепочка образует уголы $\alpha$ с вертикалью. Найдите расстояние $H_{0}$ от нижней точки цепочки до потолка.
Решение:
Пусть сила натяжения в нижней точке цепочки $T_{O}$, а в точке подвеса $T_{A}$ (рис.). К половине цепочки еще приложена сила тяжести $\frac{mg}{2}$. Запишем условие равновесия сил, действующих на половину цепочки, в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:
$T_{O} - T_{A} \sin \alpha = 0$,
$T_{A} \cos \alpha - \frac{mg}{2} = 0$.
Отсюда
$T_{A} = \frac{mg}{ 2 \cos \alpha }$ и $T_{O} = \frac{mg}{2} tg \alpha$.
Для любого промежуточного звена цепочки, образующего с вертикалью угол $\phi$, который меняется от $90^{ \circ}$ вблизи точки О до а вблизи точки А, можно записать условие равновесия для проекций сил на направление звена. Пусть длина звена $dl$, тогда его сила тяжести равна $dP = \frac{mg}{l}dl$. Прирост силы натяжения на элементе звена равен $dT = \frac{mg}{l} dl \cos \phi$. Обртим внимание на то, что $dl \cos \phi = dh$ определяет прирост высоты на элементе звена. Тогда
$dT = \frac{mg}{l} dh$.
Мы получили связь между приростом высоты и приростом модуля силы натяжения в виде пропорциональности дифференциалов. Суммируя, получаем $\sum dh = H_{0}$ - высоту провиса и $\sum dT = T_{A} - T_{O}$ - разность модулей сил натяжения. Таким образом,
$T_{A} - T_{O} = \frac{mg}{l} H_{0}$,
или
$\frac{mg}{2} \left ( \frac{1}{ \cos \alpha} - tg \alpha \right ) = \frac{mg}{l} H_{0}$.
Отсюда находим
$H_{0} = \frac{l(1 - \sin \alpha )}{2 \cos \alpha }$.
