Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15032
2021-03-13 
Какую максимальную работу можно получить от периодически действующей тепловой машины, нагревателем которой служит $m_{1} = 1 кг$ воды при начальной температуре $T_{1} = 373 К$, а холодильником - $m_{2} = 1 кг$ льда при температуре $T_{2} = 273 К$, к моменту, когда растает весь лед? Чему будет равна температура воды нагревателя в этот момент? Удельная теплота плавления льда $q = 80 ккал/кг$. Зависимостью теплоемкости воды от температуры пренебречь.
Решение:
Работа, совершаемая любой тепловой машиной в замкнутом цикле, по первому началу термодинамики равна
$A = Q_{1} - Q_{2}$,
где $Q_{1}$ - количество теплоты, подведенное к рабочему телу за цикл, а $Q_{2}$ - отведенное количество теплотьк Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины равен
$\eta = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1} } = 1 - \frac{Q_{2}}{Q_{1} }$.
Максимальную работу можно получить (теоретически), если тепловая машина будет работать по циклу Карно^ КПД цикла Карно зависит только от температур $T_{1}$ и $T_{2}$ нагревателя и холодильника:
$\eta_{K} = \frac{T_{1} - T_{2} }{T_{1} } = 1 - \frac{T_{2} }{T_{1} }$.
Сравнивая два выражения для КПД, найдем, что для цикла Карно
$\frac{Q_{2}}{Q_{1} } = \frac{T_{2} }{T_{1} }$.
В нашем случае количество теплоты $Q_{2}$, отведенное от рабочего тела и переданное холодильнику, будет идти на плавление льда, и температура холодильника $T_{2}$ будет оставаться постоянной (пока не растает весь лед) и равной 273 К А вот температура нагревателя (горячая вода) будет уменьшаться после каждого цикла, и к моменту, когда лед растает, температура воды нагревателя будет заметно меньше начальной, равной 373 К Следовательно, температура нагревателя будет переменной величиной
Пусть в некоторый произвольный момент времени температура нагревателя была $T$, а за бесконечно малое время работы тепловой машины она уменьшилась на $dT$. Количество теплоты, переданное рабочему телу за это время, равно
$dQ_{1} = - c_{в}m_{1} dT$,
где $c_{в}$ - удельная теплоемкость водык Количество теплоты, переданное холодильнику, составляет
$dQ_{2} = qdm_{2}$,
где $dm_{2}$ - бесконечно малое количество растаявшего льда. Воспользовавшись соотношением между $Q$ и $T$ для цикла Карно, получим
$- \frac{qdm_{2}}{c_{в}m_{1}dT } = \frac{T_{2}}{T_{1} }$.
После разделения переменных $T$ и $m_{2}$ это уравнение будет иметь вид
$\frac{dT}{T} = - \frac{qdm_{2}}{c_{в}m_{1}T_{2} }$.
Проинтегрируем обе части данного уравнения:
$\int_{T_{1} }^{T_{2} } \frac{dT}{T} = - \frac{q}{c_{в}m_{1}T_{2} } \int_{0}^{m_{2} } dm_{2}$,
где $T_{к}$ - конечная температура воды в нагревателе к моменту, когда весь лед растает. После интегрирования получим
$ln \frac{T_{к} }{T_{1} } = - \frac{qm_{2}}{c_{в}m_{1}T_{2} }$,
откуда найдем
$T_{к} = T_{1}e^{ - \frac{qm_{2} }{c_{в}m_{1}T_{2} } } = 278,3 К$.
Теперь мы можем определить суммарное количество теплоты, полученное от нагревателя к моменту полного таяния льда:
$Q_{1} = c_{в}m_{1} (T_{1} - T_{к})$.
Суммарное количество теплоты, переданное при этом холодильнику, равно
$Q_{2} = qm_{2}$.
Следовательно, от тепловой машины можно получить максимальную работу
$A_{max} = Q_{1} - Q_{2} = c_{в}m_{1} (T_{1} - T_{к}) - qm_{2} = 61,5 кДж$.
Какую максимальную работу можно получить от периодически действующей тепловой машины, нагревателем которой служит $m_{1} = 1 кг$ воды при начальной температуре $T_{1} = 373 К$, а холодильником - $m_{2} = 1 кг$ льда при температуре $T_{2} = 273 К$, к моменту, когда растает весь лед? Чему будет равна температура воды нагревателя в этот момент? Удельная теплота плавления льда $q = 80 ккал/кг$. Зависимостью теплоемкости воды от температуры пренебречь.
Решение:
Работа, совершаемая любой тепловой машиной в замкнутом цикле, по первому началу термодинамики равна
$A = Q_{1} - Q_{2}$,
где $Q_{1}$ - количество теплоты, подведенное к рабочему телу за цикл, а $Q_{2}$ - отведенное количество теплотьк Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины равен
$\eta = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1} } = 1 - \frac{Q_{2}}{Q_{1} }$.
Максимальную работу можно получить (теоретически), если тепловая машина будет работать по циклу Карно^ КПД цикла Карно зависит только от температур $T_{1}$ и $T_{2}$ нагревателя и холодильника:
$\eta_{K} = \frac{T_{1} - T_{2} }{T_{1} } = 1 - \frac{T_{2} }{T_{1} }$.
Сравнивая два выражения для КПД, найдем, что для цикла Карно
$\frac{Q_{2}}{Q_{1} } = \frac{T_{2} }{T_{1} }$.
В нашем случае количество теплоты $Q_{2}$, отведенное от рабочего тела и переданное холодильнику, будет идти на плавление льда, и температура холодильника $T_{2}$ будет оставаться постоянной (пока не растает весь лед) и равной 273 К А вот температура нагревателя (горячая вода) будет уменьшаться после каждого цикла, и к моменту, когда лед растает, температура воды нагревателя будет заметно меньше начальной, равной 373 К Следовательно, температура нагревателя будет переменной величиной
Пусть в некоторый произвольный момент времени температура нагревателя была $T$, а за бесконечно малое время работы тепловой машины она уменьшилась на $dT$. Количество теплоты, переданное рабочему телу за это время, равно
$dQ_{1} = - c_{в}m_{1} dT$,
где $c_{в}$ - удельная теплоемкость водык Количество теплоты, переданное холодильнику, составляет
$dQ_{2} = qdm_{2}$,
где $dm_{2}$ - бесконечно малое количество растаявшего льда. Воспользовавшись соотношением между $Q$ и $T$ для цикла Карно, получим
$- \frac{qdm_{2}}{c_{в}m_{1}dT } = \frac{T_{2}}{T_{1} }$.
После разделения переменных $T$ и $m_{2}$ это уравнение будет иметь вид
$\frac{dT}{T} = - \frac{qdm_{2}}{c_{в}m_{1}T_{2} }$.
Проинтегрируем обе части данного уравнения:
$\int_{T_{1} }^{T_{2} } \frac{dT}{T} = - \frac{q}{c_{в}m_{1}T_{2} } \int_{0}^{m_{2} } dm_{2}$,
где $T_{к}$ - конечная температура воды в нагревателе к моменту, когда весь лед растает. После интегрирования получим
$ln \frac{T_{к} }{T_{1} } = - \frac{qm_{2}}{c_{в}m_{1}T_{2} }$,
откуда найдем
$T_{к} = T_{1}e^{ - \frac{qm_{2} }{c_{в}m_{1}T_{2} } } = 278,3 К$.
Теперь мы можем определить суммарное количество теплоты, полученное от нагревателя к моменту полного таяния льда:
$Q_{1} = c_{в}m_{1} (T_{1} - T_{к})$.
Суммарное количество теплоты, переданное при этом холодильнику, равно
$Q_{2} = qm_{2}$.
Следовательно, от тепловой машины можно получить максимальную работу
$A_{max} = Q_{1} - Q_{2} = c_{в}m_{1} (T_{1} - T_{к}) - qm_{2} = 61,5 кДж$.
