Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15028
2021-03-13 
Моль гелия расширяется из начального состояния 1 до конечного состояния 3 в двух процессах (рис.). Сначала расширение идет в процессе 1-2 с постоянной теплоемкостью $C = \frac{3}{4}R$ ($R$ - универсальная газовая постоянная). Затем газ расширяется в процессе 2-3, когда его давление р прямо пропорционально объему $V$. Найдите работу, совершенную газом в процессе 1-2, если в процессе 2-3 он совершил работу $A$. Температуры начального (1) и конечного (3) состояний равны.
Решение:
Поскольку температуры газа в начальном и конечном состояниях одинаковы, переход из состояния 1 в состояние 3 происходит с сохранением внутренней энергии газа. По первому началу термодинамики, в этом случае суммарное подведенное к газу количество теплоты полностью идет на работу, совершенную газом. Воспользуемся этим обстоятельством и найдем количество теплоты, подведенное к газу на участках 1-2 и 2-3.
Обозначим состояние газа в точке 3 через $p_{3}, V_{3}$ и $T_{3}$, а в точке 2 - через $p_{2}, V_{2}$ и $T_{2}$. Работу газа $A$ на участке 2-3 выразим через площадь трапеции $23V_{3}V_{2}$ (рис.):
$A = \frac{1}{2} (p_{3} + p_{2})(V_{3} - V_{2})$.
Из подобия треугольников $03V_{3}$ и $02V_{2}$ запишем
$\frac{p_{3} }{p_{2} } = \frac{V_{3}}{V_{2} }$.
Учитывая, что $p_{3}V_{3} = RT_{3}$ и $p_{2}V_{2} = RT_{2}$, из совместного решения предыдущих двух уравнений найдем
$T_{3} - T_{2} = \frac{2A}{R}$.
Теперь мы можем записать подведенное к газу количество теплоты на участке 1-2:
$Q_{12} = C(T_{2} - T_{3} ) = - \frac{2CA}{R}$
и на участке 2-3:
$Q_{23} = C_{V} (T_{3} - T_{2}) + A = \frac{2C_{V}A}{R} = A$,
где $C_{V} = \frac{3}{2} R$ - молярная теплоемкость гелия при постоянном объеме.
В соответствии с первым началом термодинамики,
$Q_{12} + Q_{23} = A_{12} + A$,
где $A_{12}$ - искомая работа газа на участке 1-2. Тогда окончательно получим
$A_{12} = Q_{12} + Q_{23} - A = \frac{2(C_{V} - C )A}{R} = \frac{3}{2} A$.
Моль гелия расширяется из начального состояния 1 до конечного состояния 3 в двух процессах (рис.). Сначала расширение идет в процессе 1-2 с постоянной теплоемкостью $C = \frac{3}{4}R$ ($R$ - универсальная газовая постоянная). Затем газ расширяется в процессе 2-3, когда его давление р прямо пропорционально объему $V$. Найдите работу, совершенную газом в процессе 1-2, если в процессе 2-3 он совершил работу $A$. Температуры начального (1) и конечного (3) состояний равны.
Решение:
Поскольку температуры газа в начальном и конечном состояниях одинаковы, переход из состояния 1 в состояние 3 происходит с сохранением внутренней энергии газа. По первому началу термодинамики, в этом случае суммарное подведенное к газу количество теплоты полностью идет на работу, совершенную газом. Воспользуемся этим обстоятельством и найдем количество теплоты, подведенное к газу на участках 1-2 и 2-3.
Обозначим состояние газа в точке 3 через $p_{3}, V_{3}$ и $T_{3}$, а в точке 2 - через $p_{2}, V_{2}$ и $T_{2}$. Работу газа $A$ на участке 2-3 выразим через площадь трапеции $23V_{3}V_{2}$ (рис.):
$A = \frac{1}{2} (p_{3} + p_{2})(V_{3} - V_{2})$.
Из подобия треугольников $03V_{3}$ и $02V_{2}$ запишем
$\frac{p_{3} }{p_{2} } = \frac{V_{3}}{V_{2} }$.
Учитывая, что $p_{3}V_{3} = RT_{3}$ и $p_{2}V_{2} = RT_{2}$, из совместного решения предыдущих двух уравнений найдем
$T_{3} - T_{2} = \frac{2A}{R}$.
Теперь мы можем записать подведенное к газу количество теплоты на участке 1-2:
$Q_{12} = C(T_{2} - T_{3} ) = - \frac{2CA}{R}$
и на участке 2-3:
$Q_{23} = C_{V} (T_{3} - T_{2}) + A = \frac{2C_{V}A}{R} = A$,
где $C_{V} = \frac{3}{2} R$ - молярная теплоемкость гелия при постоянном объеме.
В соответствии с первым началом термодинамики,
$Q_{12} + Q_{23} = A_{12} + A$,
где $A_{12}$ - искомая работа газа на участке 1-2. Тогда окончательно получим
$A_{12} = Q_{12} + Q_{23} - A = \frac{2(C_{V} - C )A}{R} = \frac{3}{2} A$.
