Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15026
2021-03-13 
Длинную трубку согнули под прямым углом и установили так, что одно из колен смотрит вертикально вверх. В вертикальном колене удерживают веревку длиной $l = 90 см$ таким образом, что она доходит до места сгиба. Через какое время (в мс) после того, как веревку отпустят, она наполовину соскользнет в горизонтальное колено? Трением пренебречь. Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$; число $\pi = 3,14$.
Решение:
Если в момент времени $t$ длина веревки, оставшейся в вертикальном колене, равна $x$ (рис.), то энергия системы имеет вид
$E = \frac{mx^{ \prime 2}}{2} + \frac{mx}{l} g \frac{x}{2} = \frac{mx^{ \prime 2}}{2} + \frac{mg}{l} \frac{x^{2}}{2}$,
где $\frac{mx}{l}$ - масса куска веревки в вертикальном колене, $\frac{x}{2}$ - высота центра тяжести этого куска. Поскольку это выражение идентично выражению для энергии гармонических колебаний с частотой $\omega = \sqrt{ \frac{g}{l}}$, а начальная скорость равна нулю, то движение происходит по закону
$x = l \cos \omega t$
(в начальный момент $x_{0} = l$). Эта формула действует только в течение четверти периода, пока $x$ не обратится в ноль, т.е. пока вся веревка не соскользнет в горизонтальное колено. Чтобы найти искомое время, надо подставить $x = \frac{l}{2}$. Решив уравнение, получим
$t = \frac{ \pi }{3 \omega } = \frac{ \pi }{3} \sqrt{ \frac{l}{g} } = 314 мс$.
Длинную трубку согнули под прямым углом и установили так, что одно из колен смотрит вертикально вверх. В вертикальном колене удерживают веревку длиной $l = 90 см$ таким образом, что она доходит до места сгиба. Через какое время (в мс) после того, как веревку отпустят, она наполовину соскользнет в горизонтальное колено? Трением пренебречь. Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$; число $\pi = 3,14$.
Решение:
Если в момент времени $t$ длина веревки, оставшейся в вертикальном колене, равна $x$ (рис.), то энергия системы имеет вид
$E = \frac{mx^{ \prime 2}}{2} + \frac{mx}{l} g \frac{x}{2} = \frac{mx^{ \prime 2}}{2} + \frac{mg}{l} \frac{x^{2}}{2}$,
где $\frac{mx}{l}$ - масса куска веревки в вертикальном колене, $\frac{x}{2}$ - высота центра тяжести этого куска. Поскольку это выражение идентично выражению для энергии гармонических колебаний с частотой $\omega = \sqrt{ \frac{g}{l}}$, а начальная скорость равна нулю, то движение происходит по закону
$x = l \cos \omega t$
(в начальный момент $x_{0} = l$). Эта формула действует только в течение четверти периода, пока $x$ не обратится в ноль, т.е. пока вся веревка не соскользнет в горизонтальное колено. Чтобы найти искомое время, надо подставить $x = \frac{l}{2}$. Решив уравнение, получим
$t = \frac{ \pi }{3 \omega } = \frac{ \pi }{3} \sqrt{ \frac{l}{g} } = 314 мс$.
