Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15024
2021-03-13 
Стержень массой $m = 25 г$ изогнули в виде дуги, составляющей 1/3 длины окружности радиусом $R = 60 см$, и с помощью невесомых спиц прикрепили к оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно ее плоскости. Стержень равномерно заряжен положительным зарядом с линейной плотностью $\lambda = 2 мкКл/м$ и находится в поле неподвижного отрицательного точечного заряда $Q = -6 мкКл$, расположенного посередине между концами стержня. Найдите циклическую частоту малых колебаний такой системы около положения равновесия. Силу тяжести не учитывать.
Решение:
В качестве отклоняющего параметра $x$ выберем смещение точек стержня из положения равновесия вдоль дуги окружности (рис.; здесь $\phi = 60^{ \circ}$).
Кинетическая энергия стержня равна $\frac{mx^{ \prime 2}}{2}$. Для вычисления потенциальной энергии применим метод «перемещения малого кусочка», который мы использовали в задачах 15016 и 15017:
$E_{п} = k \frac{ \lambda x Q}{R \sin \phi + \frac{x}{2} \cos \phi } - k \frac{ \lambda x Q}{R \sin \phi - \frac{x}{2} \cos \phi } = - k \frac{ \lambda x Q x \cos \phi }{(R \sin \phi )^{2} - \left ( \frac{x}{2} \cos \phi \right )^{2} } = - \frac{ 2k \lambda Q \cos \phi }{(R \sin \phi )^{2} } \frac{x^{2} }{2} = \frac{4}{3} \frac{k \lambda |Q| }{R^{2} } \frac{x^{2} }{2}$.
Циклическая частота малых колебаний равна
$\omega = \sqrt{ \frac{4k \lambda |Q| }{3mR^{2} } } = 4 ^{-1}$.
Стержень массой $m = 25 г$ изогнули в виде дуги, составляющей 1/3 длины окружности радиусом $R = 60 см$, и с помощью невесомых спиц прикрепили к оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно ее плоскости. Стержень равномерно заряжен положительным зарядом с линейной плотностью $\lambda = 2 мкКл/м$ и находится в поле неподвижного отрицательного точечного заряда $Q = -6 мкКл$, расположенного посередине между концами стержня. Найдите циклическую частоту малых колебаний такой системы около положения равновесия. Силу тяжести не учитывать.
Решение:
В качестве отклоняющего параметра $x$ выберем смещение точек стержня из положения равновесия вдоль дуги окружности (рис.; здесь $\phi = 60^{ \circ}$).
Кинетическая энергия стержня равна $\frac{mx^{ \prime 2}}{2}$. Для вычисления потенциальной энергии применим метод «перемещения малого кусочка», который мы использовали в задачах 15016 и 15017:
$E_{п} = k \frac{ \lambda x Q}{R \sin \phi + \frac{x}{2} \cos \phi } - k \frac{ \lambda x Q}{R \sin \phi - \frac{x}{2} \cos \phi } = - k \frac{ \lambda x Q x \cos \phi }{(R \sin \phi )^{2} - \left ( \frac{x}{2} \cos \phi \right )^{2} } = - \frac{ 2k \lambda Q \cos \phi }{(R \sin \phi )^{2} } \frac{x^{2} }{2} = \frac{4}{3} \frac{k \lambda |Q| }{R^{2} } \frac{x^{2} }{2}$.
Циклическая частота малых колебаний равна
$\omega = \sqrt{ \frac{4k \lambda |Q| }{3mR^{2} } } = 4 ^{-1}$.
