Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15023
2021-03-13 
Стержень массой $m = 30 г$ изогнули в форме дуги, составляющей 1/6 длины окружности радиусом $R = 0,1 м$, и с помощью невесомых спиц прикрепили к оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно ее плоскости. На концах стержня закрепили одинаковые положительные точечные заряды величиной $q = 0,1 мкКл$ каждый. Стержень находится в поле неподвижного точечного заряда $Q = 0,2 мкКл$, расположенного посередине между концами стержня. Найдите циклическую частоту малых колебаний такой системы около положения равновесия. Силу тяжести не учитывать.
Решение:
В качестве параметра отклонения выберем смещение $x$ каждого из зарядов $q$ вдоль дуги окружности (рис.; здесь $\phi = 30^{ \circ}$). Кинетическая энергия системы сводится к кинетической энергии стержня:
$E_{к} = \frac{mx^{ \prime 2}}{2}$.
Изменение потенциальной энергии системы при малом смещении стержня с зарядами равно
$E_{п} = k \frac{qQ}{R \sin \phi + x \cos \phi } + k \frac{qQ}{R \sin \phi - x \cos \phi } - 2k \frac{qQ}{R \sin \phi } = 2k \frac{qQR \sin \phi}{(R \sin \phi )^{2} - (x \cos \phi )^{2} } - 2k \frac{qQ}{R \sin \phi } = 2k \frac{qQ R \sin \phi ( (R \sin \phi )^{2} + (x \cos \phi )^{2} ) }{ (R \sin \phi )^{4} - (x \cos \phi )^{4} } - 2k \frac{qQ}{R \sin \phi } = 4k \frac{qQ \cos^{2} \phi }{R^{3} \sin^{2} \phi } \frac{x^{2} }{2} = 24k \frac{qQ}{R^{3} } \frac{x^{2} }{2}$,
где $k = 9 \cdot 10^{9} H \cdot м/Кл^{2}$ - электрическая постоянная. Для циклической частоты колебаний получаем
$\omega = \sqrt{24k \frac{qQ}{mR^{3}}} = 12 с^{-1}$.
Стержень массой $m = 30 г$ изогнули в форме дуги, составляющей 1/6 длины окружности радиусом $R = 0,1 м$, и с помощью невесомых спиц прикрепили к оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно ее плоскости. На концах стержня закрепили одинаковые положительные точечные заряды величиной $q = 0,1 мкКл$ каждый. Стержень находится в поле неподвижного точечного заряда $Q = 0,2 мкКл$, расположенного посередине между концами стержня. Найдите циклическую частоту малых колебаний такой системы около положения равновесия. Силу тяжести не учитывать.
Решение:
В качестве параметра отклонения выберем смещение $x$ каждого из зарядов $q$ вдоль дуги окружности (рис.; здесь $\phi = 30^{ \circ}$). Кинетическая энергия системы сводится к кинетической энергии стержня:
$E_{к} = \frac{mx^{ \prime 2}}{2}$.
Изменение потенциальной энергии системы при малом смещении стержня с зарядами равно
$E_{п} = k \frac{qQ}{R \sin \phi + x \cos \phi } + k \frac{qQ}{R \sin \phi - x \cos \phi } - 2k \frac{qQ}{R \sin \phi } = 2k \frac{qQR \sin \phi}{(R \sin \phi )^{2} - (x \cos \phi )^{2} } - 2k \frac{qQ}{R \sin \phi } = 2k \frac{qQ R \sin \phi ( (R \sin \phi )^{2} + (x \cos \phi )^{2} ) }{ (R \sin \phi )^{4} - (x \cos \phi )^{4} } - 2k \frac{qQ}{R \sin \phi } = 4k \frac{qQ \cos^{2} \phi }{R^{3} \sin^{2} \phi } \frac{x^{2} }{2} = 24k \frac{qQ}{R^{3} } \frac{x^{2} }{2}$,
где $k = 9 \cdot 10^{9} H \cdot м/Кл^{2}$ - электрическая постоянная. Для циклической частоты колебаний получаем
$\omega = \sqrt{24k \frac{qQ}{mR^{3}}} = 12 с^{-1}$.
