Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15022
2021-03-13 
Около дна горизонтального полого цилиндра катается взад-вперед маленькое тонкое колечко, оставаясь все время в вертикальной плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Найдите циклическую частоту такого колебательного движения. Внутренний радиус цилиндра $R = 1,25 м$, ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
При качении без проскальзывания трение покоя работу не совершает, и механическая энергия сохраняется. Для решения этой задачи надо знать, что кинетическая энергия катящегося со скоростью $v$ колечка (обруча, тонкостенного цилиндра) массой $m$ равна
$E_{к} = mv^{2}$.
Это утверждение является следствием общей теоремы о том, что кинетическая энергия любой системы может быть представлена в виде суммы двух слагаемых: кинетической энергии поступательного движения системы как целого со скоростью центра масс и кинетической энергии в системе отсчета, связанной с центром масс:
$E_{к} = \frac{mv_{ц}^{2}}{2} + E_{отн}$.
В случае катящегося колечка относительное движение представляет собой чистое вращение колечка вокруг своей оси. Из условия отсутствия проскальзывания следует, что линейная скорость вращения равна $v_{ц}$, т.е. кинетическая энергия такого вращения есть $E_{отн} = \frac{mv_{ц}^{2}}{2}$.
Впрочем, можно вывести исходное утверждение специально для колечка, не опираясь ни на какие дополнительные теоремы. Для этого надо рассмотреть два маленьких диаметрально противоположных элемента кольца массой $\Delta m$ каждый, вычислить их скорости по закону сложения скоростей (с помощью теоремы косинусов)и убедиться,что их полная кинетическая энергия равна $2 \Delta m v_{ц}^{2}$.
Если в качестве параметра отклонения выбрать смещение $x$ колечка от нижней точки по дуге окружности (рис.), то энергия колечка записывается в виде
$E = 2m \frac{x^{ \prime 2} }{2} + \frac{mg}{R} \frac{x^{2} }{2}$
Циклическая частота колебательного движения колечка равна
$\omega = \sqrt{ \frac{g}{2R} } = 2 с^{-1}$.
Около дна горизонтального полого цилиндра катается взад-вперед маленькое тонкое колечко, оставаясь все время в вертикальной плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Найдите циклическую частоту такого колебательного движения. Внутренний радиус цилиндра $R = 1,25 м$, ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
При качении без проскальзывания трение покоя работу не совершает, и механическая энергия сохраняется. Для решения этой задачи надо знать, что кинетическая энергия катящегося со скоростью $v$ колечка (обруча, тонкостенного цилиндра) массой $m$ равна
$E_{к} = mv^{2}$.
Это утверждение является следствием общей теоремы о том, что кинетическая энергия любой системы может быть представлена в виде суммы двух слагаемых: кинетической энергии поступательного движения системы как целого со скоростью центра масс и кинетической энергии в системе отсчета, связанной с центром масс:
$E_{к} = \frac{mv_{ц}^{2}}{2} + E_{отн}$.
В случае катящегося колечка относительное движение представляет собой чистое вращение колечка вокруг своей оси. Из условия отсутствия проскальзывания следует, что линейная скорость вращения равна $v_{ц}$, т.е. кинетическая энергия такого вращения есть $E_{отн} = \frac{mv_{ц}^{2}}{2}$.
Впрочем, можно вывести исходное утверждение специально для колечка, не опираясь ни на какие дополнительные теоремы. Для этого надо рассмотреть два маленьких диаметрально противоположных элемента кольца массой $\Delta m$ каждый, вычислить их скорости по закону сложения скоростей (с помощью теоремы косинусов)и убедиться,что их полная кинетическая энергия равна $2 \Delta m v_{ц}^{2}$.
Если в качестве параметра отклонения выбрать смещение $x$ колечка от нижней точки по дуге окружности (рис.), то энергия колечка записывается в виде
$E = 2m \frac{x^{ \prime 2} }{2} + \frac{mg}{R} \frac{x^{2} }{2}$
Циклическая частота колебательного движения колечка равна
$\omega = \sqrt{ \frac{g}{2R} } = 2 с^{-1}$.
