Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1502
2016-11-27 
Найти поверхностное натяжение жидкости, если петля из резиновой нити длины $l_{0}$ и жесткости $k$, положенная на пленку этой жидкости, растянулась до окружности радиуса $R$ после прокола пленки внутри петли.
Решение:
Рассмотрим три варианта решения. Первый вариант основан на применении второго закона Ньютона (условия равновесия) к весьма малому фрагменту резиновой нити длиной $\Delta l$, опирающейся на угол $2 \alpha$:
$\vec{T}_{1} + \vec{T}_{2} + \vec{F} = 0$, (1)
где $T_{1}$ и $T_{2}$ — силы натяжения со стороны прилегающих частей нити, причем, в силу симметрии, очевидно, $T_{1} = T_{2} = T$. Модуль силы поверхностного натяжения $F$ равен:
$F = 2 \sigma \Delta l$ (2)
(двойка учитывает наличие двух поверхностей пленки).
Согласно закону Гука:
$T = k (2 \pi R - l_{0})$. (3)
Спроецируем (1) на ось x:
$2T \sin \alpha - F = 0$. (4)
Учитывая, что при малых $\alpha \sin \alpha \approx \alpha$, из (2—4) находим:
$\sigma = \frac{k (2 \pi R - l_{0})}{2R}$.
Второй вариант решения задачи основан на применении второго закона к полукольцу резиновой нити:
$\vec{T}_{1} + \vec{T}_{2} + \sigma \vec{F}_{i} = 0$. (1)
Мы разбили полукольцо на очень малые фрагменты с длинами $\Delta l_{i}$, и силу поверхностного натяжения, действующую на полукольцо со стороны пленки, представили в виде последнего слагаемого в правой части (1):
$F_{i} = 2 \Delta l_{i} \sigma$. (2)
Согласно закону Гука:
$T = (2 \pi R - l_{0})k$ (3)
(учтено, что $T_{1} = T_{2} = T$).
Спроецируем (1) на ось х:
$2T = \sum F_{ix}$, (4)
где $\sum F_{ix} = \sum 2 \sigma \Delta l_{i} \cos \alpha_{i} = 2 \sigma \sum \Delta l_{i} \cos \alpha_{i} = 2 \sigma \sum \Delta l_{0i} = 2 \sigma \cdot 2R$.
Из (2—4) получаем ответ задачи.
Третий вариант решения основан на энергетическом подходе.
Представим себе, что в результате каких-то причин радиус нити возрос на величину $\Delta R$, которую будем считать очень малой $\Delta R \ll R$. Это может произойти, например, через длительное время вследствие текучести резины.
При таком увеличении длины резиновой нити силы поверхностного натяжения совершают работу:
$A = 2 \pi \Delta RT$, (1)
где $2 \pi \Delta R$ — величина удлинения нити.
С другой стороны, поверхностная энергия пленки уменьшилась на величину:
$\Delta E_{n} = \sigma 2S$, (2)
где $S = 2 \pi R \Delta R$ — уменьшение поверхности одной стороны пленки.
Согласно закону сохранения энергии:
$\Delta E_{n} = A$. (3)
Из (1—3), с учетом закона Гука, получаем ответ задачи:
$\sigma = \frac{k(2 \pi R - l_{0})}{2R}$.
Найти поверхностное натяжение жидкости, если петля из резиновой нити длины $l_{0}$ и жесткости $k$, положенная на пленку этой жидкости, растянулась до окружности радиуса $R$ после прокола пленки внутри петли.
Решение:
Рассмотрим три варианта решения. Первый вариант основан на применении второго закона Ньютона (условия равновесия) к весьма малому фрагменту резиновой нити длиной $\Delta l$, опирающейся на угол $2 \alpha$:
$\vec{T}_{1} + \vec{T}_{2} + \vec{F} = 0$, (1)
где $T_{1}$ и $T_{2}$ — силы натяжения со стороны прилегающих частей нити, причем, в силу симметрии, очевидно, $T_{1} = T_{2} = T$. Модуль силы поверхностного натяжения $F$ равен:
$F = 2 \sigma \Delta l$ (2)
(двойка учитывает наличие двух поверхностей пленки).
Согласно закону Гука:
$T = k (2 \pi R - l_{0})$. (3)
Спроецируем (1) на ось x:
$2T \sin \alpha - F = 0$. (4)
Учитывая, что при малых $\alpha \sin \alpha \approx \alpha$, из (2—4) находим:
$\sigma = \frac{k (2 \pi R - l_{0})}{2R}$.
Второй вариант решения задачи основан на применении второго закона к полукольцу резиновой нити:
$\vec{T}_{1} + \vec{T}_{2} + \sigma \vec{F}_{i} = 0$. (1)
Мы разбили полукольцо на очень малые фрагменты с длинами $\Delta l_{i}$, и силу поверхностного натяжения, действующую на полукольцо со стороны пленки, представили в виде последнего слагаемого в правой части (1):
$F_{i} = 2 \Delta l_{i} \sigma$. (2)
Согласно закону Гука:
$T = (2 \pi R - l_{0})k$ (3)
(учтено, что $T_{1} = T_{2} = T$).
Спроецируем (1) на ось х:
$2T = \sum F_{ix}$, (4)
где $\sum F_{ix} = \sum 2 \sigma \Delta l_{i} \cos \alpha_{i} = 2 \sigma \sum \Delta l_{i} \cos \alpha_{i} = 2 \sigma \sum \Delta l_{0i} = 2 \sigma \cdot 2R$.
Из (2—4) получаем ответ задачи.
Третий вариант решения основан на энергетическом подходе.
Представим себе, что в результате каких-то причин радиус нити возрос на величину $\Delta R$, которую будем считать очень малой $\Delta R \ll R$. Это может произойти, например, через длительное время вследствие текучести резины.
При таком увеличении длины резиновой нити силы поверхностного натяжения совершают работу:
$A = 2 \pi \Delta RT$, (1)
где $2 \pi \Delta R$ — величина удлинения нити.
С другой стороны, поверхностная энергия пленки уменьшилась на величину:
$\Delta E_{n} = \sigma 2S$, (2)
где $S = 2 \pi R \Delta R$ — уменьшение поверхности одной стороны пленки.
Согласно закону сохранения энергии:
$\Delta E_{n} = A$. (3)
Из (1—3), с учетом закона Гука, получаем ответ задачи:
$\sigma = \frac{k(2 \pi R - l_{0})}{2R}$.
