Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15018
2021-03-13 
Невесомый стержень изогнули в виде дуги, составляющей 1/3 длины окружности радиусом $R = 5 см$, и с помощью невесомых спиц прикрепили к горизонтальной оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно ее плоскости. К концам стержня прикрепили два одинаковых груза. Найдите циклическую частоту малых колебаний такой системы около положения равновесия. Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
В качестве параметра, определяющего отклонение системы от положения равновесия, примем (для разнообразия) малый угол отклонения $\alpha$. Кинетическая энергия системы равна
$E_{к} = 2 \frac{mv^{2} }{2} = \frac{2mR^{2} \omega^{2} }{2} = 2mR^{2} \frac{ \alpha^{ \prime 2} }{2}$,
т.е. эффективная масса равна $m_{эф} = 2mR^{2}$ (здесь $m$ - масса груза). Потенциальную энергию удобно выразить через изменение высоты центра тяжести, который расположен посередине между грузами на расстоянии $l = R \cos 60^{ \circ } = \frac{R}{2}$ под точкой подвеса:
$E_{п} = 2mgl(1 - \cos \alpha ) = 2 mgl \frac{ \alpha^{2} }{2} = mgR \frac{ \alpha^{2} }{2}$.
Следовательно, эффективная жесткость равна $k_{эф} = mgR$, и циклическая частота малых колебаний составляет
$\omega = \sqrt{ \frac{k_{эф} }{m_{эф} } } = \sqrt{ \frac{g}{2R} } = 10 с^{-1}$.
Попробуйте для упражнения получить этот ответ, выбрав в качестве параметра не угол $\alpha$, а более привычное смещение грузов $x = R \alpha$.
Невесомый стержень изогнули в виде дуги, составляющей 1/3 длины окружности радиусом $R = 5 см$, и с помощью невесомых спиц прикрепили к горизонтальной оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно ее плоскости. К концам стержня прикрепили два одинаковых груза. Найдите циклическую частоту малых колебаний такой системы около положения равновесия. Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
В качестве параметра, определяющего отклонение системы от положения равновесия, примем (для разнообразия) малый угол отклонения $\alpha$. Кинетическая энергия системы равна
$E_{к} = 2 \frac{mv^{2} }{2} = \frac{2mR^{2} \omega^{2} }{2} = 2mR^{2} \frac{ \alpha^{ \prime 2} }{2}$,
т.е. эффективная масса равна $m_{эф} = 2mR^{2}$ (здесь $m$ - масса груза). Потенциальную энергию удобно выразить через изменение высоты центра тяжести, который расположен посередине между грузами на расстоянии $l = R \cos 60^{ \circ } = \frac{R}{2}$ под точкой подвеса:
$E_{п} = 2mgl(1 - \cos \alpha ) = 2 mgl \frac{ \alpha^{2} }{2} = mgR \frac{ \alpha^{2} }{2}$.
Следовательно, эффективная жесткость равна $k_{эф} = mgR$, и циклическая частота малых колебаний составляет
$\omega = \sqrt{ \frac{k_{эф} }{m_{эф} } } = \sqrt{ \frac{g}{2R} } = 10 с^{-1}$.
Попробуйте для упражнения получить этот ответ, выбрав в качестве параметра не угол $\alpha$, а более привычное смещение грузов $x = R \alpha$.
