Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15016
2021-03-13 
Стержень длиной $l = 40 см$ изогнули по дуге окружности в виде полукольца и с помощью невесомых спиц прикрепили к горизонтальной оси, проходящей через центр окружности. Найдите циклическую частоту малых колебаний полукольца около положения равновесия, если ось вращения перпендикулярна его плоскости. Ускорение свободного падения $g = 9,8 м/с^{2}$.
Решение:
В качестве параметра x, определяющего положение системы, выберем смещение точек стержня вдоль дуги окружности из положения равновесия (рис.). Тогда кинетическая энергия маятника равна $\frac{mx^{ \prime 2}}{2}$, т.е. эффективная масса равна массе стержня. Расчет потенциальной энергии стержня на первый взгляд кажется сложной задачей - ведь мы не знаем положение центра тяжести. Однако существует простое рассуждение, основанное на симметрии стержня. При повороте стержня на угол $\alpha = \frac{x}{R}$ (здесь $R$ - радиус кольца) большая его часть перейдет сама в себя, и для подсчета потенциальной энергии можно будет считать, что мы перенесли кусочек длиной $x$ и массой $\frac{mx}{l}$ с одного конца стержня на другой (это хорошо видно на рисунке). При этом центр кусочка сместится вверх на $x$, т.е. изменение потенциальной энергии стержня составит
$E_{п} = \frac{mx}{l} gx = \frac{2mg}{l} \frac{x^{2} }{2}$ (1)
(потенциальная энергия колебательной системы в положении равновесия всегда принимается равной нулю). Значит, эффективная жесткость системы составляет $k_{эф} = \frac{2mg}{l}$, а циклическая частота малых колебаний равна
$\omega = \sqrt{ \frac{k_{эф} }{m_{эф} } } = \sqrt{ \frac{2g}{l} } = 7 с^{-1}$.
Стержень длиной $l = 40 см$ изогнули по дуге окружности в виде полукольца и с помощью невесомых спиц прикрепили к горизонтальной оси, проходящей через центр окружности. Найдите циклическую частоту малых колебаний полукольца около положения равновесия, если ось вращения перпендикулярна его плоскости. Ускорение свободного падения $g = 9,8 м/с^{2}$.
Решение:
В качестве параметра x, определяющего положение системы, выберем смещение точек стержня вдоль дуги окружности из положения равновесия (рис.). Тогда кинетическая энергия маятника равна $\frac{mx^{ \prime 2}}{2}$, т.е. эффективная масса равна массе стержня. Расчет потенциальной энергии стержня на первый взгляд кажется сложной задачей - ведь мы не знаем положение центра тяжести. Однако существует простое рассуждение, основанное на симметрии стержня. При повороте стержня на угол $\alpha = \frac{x}{R}$ (здесь $R$ - радиус кольца) большая его часть перейдет сама в себя, и для подсчета потенциальной энергии можно будет считать, что мы перенесли кусочек длиной $x$ и массой $\frac{mx}{l}$ с одного конца стержня на другой (это хорошо видно на рисунке). При этом центр кусочка сместится вверх на $x$, т.е. изменение потенциальной энергии стержня составит
$E_{п} = \frac{mx}{l} gx = \frac{2mg}{l} \frac{x^{2} }{2}$ (1)
(потенциальная энергия колебательной системы в положении равновесия всегда принимается равной нулю). Значит, эффективная жесткость системы составляет $k_{эф} = \frac{2mg}{l}$, а циклическая частота малых колебаний равна
$\omega = \sqrt{ \frac{k_{эф} }{m_{эф} } } = \sqrt{ \frac{2g}{l} } = 7 с^{-1}$.
