Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15014
2021-03-13 
Для измерения индуктивности $L$ катушки можно использовать схему, показанную на рисунке. Она состоит из конденсатора известной емкости $C$, сдвоенного реостата, амперметра А и генератора гармонического напряжения, частоту которого можно изменять в широких пределах. Процесс измерения сводится к установлению такого одинакового значения сопротивления каждого из реостатов, при котором показания амперметра перестают изменяться при изменении частоты $\omega$ генератора. Зная амплитуды напряжения $U$ и тока $I$ при указанном выше условии, найдите $L$.
Решение:
По условию задачи, когда сопротивление каждого из реостатов становится равным определенному значению, показания амперметра перестают зависеть от частоты. Действительно, при достаточно низкой частоте $\omega$ емкостное сопротивление конденсатора становится значительно больше, а индуктивное сопротивление катушки оказывается значительно меньше сопротивления шунтирующих их реостатов. При увеличении же частоты генератора емкостное сопротивление конденсатора уменьшается, а индуктивное сопротивление катушки растет. Поэтому при достаточно высокой частоте $\omega$ можно считать, что конденсатор «закорачивает» шунтирующий его реостат, а током, текущим через катушку, можно пренебречь по сравнению с током, текущим через шунтирующий ее реостат. Таким образом, если сопротивление каждого из реостатов равно $R_{0}$, то при достаточно низкой и при достаточно высокой частоте подключенная к источнику цепь ведет себя как резистор с сопротивлением $R_{0}$, причем в широком интервале частот отношение амплитуд напряжения генератора и силы тока через амперметр равно $\frac{U}{I} = R_{0}$.
Даже если сопротивление реостата $R$ не равно $R_{0}$, значения напряжения на катушке индуктивности и шунтирующем ее реостате должны быть одинаковы, как и значения напряжения на конденсаторе и шунтирующем его реостате. При этом фаза напряжения $U_{L}(t)$ на катушке на $\frac{ \pi }{2}$ больше фазы текущего по ней тока $I_{L}(t)$, поскольку $U_{L} (t) = LI_{L}^{ \prime} (t)$. Текущий же по шунтирующему катушку реостату ток $I_{RL}(t)$ изменяется синфазно с напряжением $U_{L}(t)$, так как $U_{L}(t) = EI_{RL}(t)$. Из сказанного следует, что фаза напряжения на катушке опережает фазу тока $I(t)$, через амперметр на такой угол $\phi_{L}$, что $tg \phi_{L} = \frac{R}{ \omega L}$.
Фаза напряжения $U_{C} (t)$ на конденсаторе меньше фазы текущего по нему тока $I_{C} (t)$ на $\frac{ \pi}{2}$ , так как $I_{C} (t) = q_{C}^{ \prime } (t) = CU_{C}^{ \prime } (t)$. Фазы же напряжения на конденсаторе и тока $I_{RC}(t) = \frac{U_{C} (t)}{R}$, текущего по шунтирующему конденсатор реостату, совпадают. Значит, фаза суммарного тока $I(t)$, текущего через эти элементы, опережает фазу напряжения на них на такой угол $\phi_{C}$, что $tg \phi_{C} = \omega CR$.
Итак, текущий через амперметр ток удовлетворяет соотношению
$I(t) = I_{L}(t) + I_{RL} (t) = I_{C} (t) + I_{RC} (t)$,
а напряжение генератора равно
$U(t) = U \sin \omega t = U_{L} (t) + U_{C} (t)$.
Поэтому векторная диаграмма напряжений на элементах цепи при произвольных, но равных сопротивлениях реостатов будет иметь вид, показанный на рисунке. Из этого рисунка можно понять, что отношение амплитуды напряжения $U (t)$ к амплитуде тока $I (t)$ не будет зависеть от частоты $\omega$ только при условии, что $\phi_{L} + \phi_{C} = \frac{ \pi }{2}$, т.е. при условии совпадения фаз $U(t)$ и $I(t)$. Таким образом, при выполнении сделанных предположений и при $R = R_{0}$ текущий через амперметр ток и напряжение генератора должны изменяться синфазно при всех допустимых значениях $\omega$.
Выполнение соотношения $\phi_{L} + \phi_{C} = \frac{ \pi}{2}$ эквивалентно требованию $tg \phi_{L} \phi_{C} = 1 = \frac{CR_{0}^{2}}{L}$. Поскольку $R_{0} = \frac{U}{I}$ , то
$L = \frac{CU^{2} }{I^{2} }$.
Для измерения индуктивности $L$ катушки можно использовать схему, показанную на рисунке. Она состоит из конденсатора известной емкости $C$, сдвоенного реостата, амперметра А и генератора гармонического напряжения, частоту которого можно изменять в широких пределах. Процесс измерения сводится к установлению такого одинакового значения сопротивления каждого из реостатов, при котором показания амперметра перестают изменяться при изменении частоты $\omega$ генератора. Зная амплитуды напряжения $U$ и тока $I$ при указанном выше условии, найдите $L$.
Решение:
По условию задачи, когда сопротивление каждого из реостатов становится равным определенному значению, показания амперметра перестают зависеть от частоты. Действительно, при достаточно низкой частоте $\omega$ емкостное сопротивление конденсатора становится значительно больше, а индуктивное сопротивление катушки оказывается значительно меньше сопротивления шунтирующих их реостатов. При увеличении же частоты генератора емкостное сопротивление конденсатора уменьшается, а индуктивное сопротивление катушки растет. Поэтому при достаточно высокой частоте $\omega$ можно считать, что конденсатор «закорачивает» шунтирующий его реостат, а током, текущим через катушку, можно пренебречь по сравнению с током, текущим через шунтирующий ее реостат. Таким образом, если сопротивление каждого из реостатов равно $R_{0}$, то при достаточно низкой и при достаточно высокой частоте подключенная к источнику цепь ведет себя как резистор с сопротивлением $R_{0}$, причем в широком интервале частот отношение амплитуд напряжения генератора и силы тока через амперметр равно $\frac{U}{I} = R_{0}$.
Даже если сопротивление реостата $R$ не равно $R_{0}$, значения напряжения на катушке индуктивности и шунтирующем ее реостате должны быть одинаковы, как и значения напряжения на конденсаторе и шунтирующем его реостате. При этом фаза напряжения $U_{L}(t)$ на катушке на $\frac{ \pi }{2}$ больше фазы текущего по ней тока $I_{L}(t)$, поскольку $U_{L} (t) = LI_{L}^{ \prime} (t)$. Текущий же по шунтирующему катушку реостату ток $I_{RL}(t)$ изменяется синфазно с напряжением $U_{L}(t)$, так как $U_{L}(t) = EI_{RL}(t)$. Из сказанного следует, что фаза напряжения на катушке опережает фазу тока $I(t)$, через амперметр на такой угол $\phi_{L}$, что $tg \phi_{L} = \frac{R}{ \omega L}$.
Фаза напряжения $U_{C} (t)$ на конденсаторе меньше фазы текущего по нему тока $I_{C} (t)$ на $\frac{ \pi}{2}$ , так как $I_{C} (t) = q_{C}^{ \prime } (t) = CU_{C}^{ \prime } (t)$. Фазы же напряжения на конденсаторе и тока $I_{RC}(t) = \frac{U_{C} (t)}{R}$, текущего по шунтирующему конденсатор реостату, совпадают. Значит, фаза суммарного тока $I(t)$, текущего через эти элементы, опережает фазу напряжения на них на такой угол $\phi_{C}$, что $tg \phi_{C} = \omega CR$.
Итак, текущий через амперметр ток удовлетворяет соотношению
$I(t) = I_{L}(t) + I_{RL} (t) = I_{C} (t) + I_{RC} (t)$,
а напряжение генератора равно
$U(t) = U \sin \omega t = U_{L} (t) + U_{C} (t)$.
Поэтому векторная диаграмма напряжений на элементах цепи при произвольных, но равных сопротивлениях реостатов будет иметь вид, показанный на рисунке. Из этого рисунка можно понять, что отношение амплитуды напряжения $U (t)$ к амплитуде тока $I (t)$ не будет зависеть от частоты $\omega$ только при условии, что $\phi_{L} + \phi_{C} = \frac{ \pi }{2}$, т.е. при условии совпадения фаз $U(t)$ и $I(t)$. Таким образом, при выполнении сделанных предположений и при $R = R_{0}$ текущий через амперметр ток и напряжение генератора должны изменяться синфазно при всех допустимых значениях $\omega$.
Выполнение соотношения $\phi_{L} + \phi_{C} = \frac{ \pi}{2}$ эквивалентно требованию $tg \phi_{L} \phi_{C} = 1 = \frac{CR_{0}^{2}}{L}$. Поскольку $R_{0} = \frac{U}{I}$ , то
$L = \frac{CU^{2} }{I^{2} }$.
