Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15007
2021-03-13 
В закрепленную полусферу радиусом $R$ бросили маленький тяжелый шарик так, что его скорость в момент удара о внутреннюю поверхность полусферы в точке A составляла с горизонтом угол $\alpha = 15^{ \circ}$. После этого удара шарик вновь ударяется о поверхность полусферы в точке В, лежащей на одной горизонтали с точкой A, затем опять попадает в точку A и так далее. Считая удары шарика абсолютно упругими, найдите модули его скоростей при ударах в точках A и В.
Решение:
При решении задачи следует считать, что между ударами о полусферу на шарик действует только сила тяжести. Поскольку при упругом ударе угол падения равен углу отражения (докажите это самостоятельно), то прямая АВ лежит в вертикальной плоскости, проходящей через центр О полусферы. Пусть, как это показано на рисунке, радиусы ОА и ОВ образуют с горизонтом углы $\beta$.
Тогда углы падения и отражения равны $\gamma = \beta - \alpha$. Из закона сохранения энергии следует, что модуль $v$ скорости шарика при падении и отражении в точках А и В один и тот же, при этом
$AB = 2R \cos \beta = 2vt_{1} \cos ( \beta - \gamma ) = 2vt_{2} \cos ( \beta + \gamma )$,
$gt_{1} = v \sin ( \beta - \gamma ), gt_{2} = v \sin ( \beta + \gamma )$.
Из этих соотношений следует, что $\sin 2 ( \beta - \gamma ) = \sin 2 ( \beta + \gamma )$.
Поскольку $\beta > \gamma$ и $\beta + \gamma < \frac{ \pi }{2}$, решение предыдущего уравнения имеет вид $\pi - 2 ( \beta - \gamma ) = 2 ( \beta + \gamma )$, т.е. $\beta = \frac{ \pi}{4}$, а потому $2R \cos \frac{ \pi }{4} = \sqrt{2} R$. Отсюда $\sqrt{2} Rg = v^{2} \sin 2 ( \beta - \gamma ) = v^{2} \sin 2 \alpha$. Таким образом, модуль искомой скорости равен
$v = \sqrt{ \frac{ \sqrt{2}Rg }{ \sin 2 \alpha } } = \sqrt{2 \sqrt{2} Rg}$.
В закрепленную полусферу радиусом $R$ бросили маленький тяжелый шарик так, что его скорость в момент удара о внутреннюю поверхность полусферы в точке A составляла с горизонтом угол $\alpha = 15^{ \circ}$. После этого удара шарик вновь ударяется о поверхность полусферы в точке В, лежащей на одной горизонтали с точкой A, затем опять попадает в точку A и так далее. Считая удары шарика абсолютно упругими, найдите модули его скоростей при ударах в точках A и В.
Решение:
При решении задачи следует считать, что между ударами о полусферу на шарик действует только сила тяжести. Поскольку при упругом ударе угол падения равен углу отражения (докажите это самостоятельно), то прямая АВ лежит в вертикальной плоскости, проходящей через центр О полусферы. Пусть, как это показано на рисунке, радиусы ОА и ОВ образуют с горизонтом углы $\beta$.
Тогда углы падения и отражения равны $\gamma = \beta - \alpha$. Из закона сохранения энергии следует, что модуль $v$ скорости шарика при падении и отражении в точках А и В один и тот же, при этом
$AB = 2R \cos \beta = 2vt_{1} \cos ( \beta - \gamma ) = 2vt_{2} \cos ( \beta + \gamma )$,
$gt_{1} = v \sin ( \beta - \gamma ), gt_{2} = v \sin ( \beta + \gamma )$.
Из этих соотношений следует, что $\sin 2 ( \beta - \gamma ) = \sin 2 ( \beta + \gamma )$.
Поскольку $\beta > \gamma$ и $\beta + \gamma < \frac{ \pi }{2}$, решение предыдущего уравнения имеет вид $\pi - 2 ( \beta - \gamma ) = 2 ( \beta + \gamma )$, т.е. $\beta = \frac{ \pi}{4}$, а потому $2R \cos \frac{ \pi }{4} = \sqrt{2} R$. Отсюда $\sqrt{2} Rg = v^{2} \sin 2 ( \beta - \gamma ) = v^{2} \sin 2 \alpha$. Таким образом, модуль искомой скорости равен
$v = \sqrt{ \frac{ \sqrt{2}Rg }{ \sin 2 \alpha } } = \sqrt{2 \sqrt{2} Rg}$.
