Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15005
2021-03-13 
Демонстрационная установка состоит из наклонной плоскости, плавно переходящей в «мертвую петлю» радиусом $R$ (рис.). Установка закреплена на тележке, стоящей на горизонтальной плоскости. Груз массой $m_{1} = 0,2 кг$ съезжает с высоты $h = 3R$, отсчитанной от нижней точки петли. Чему равна сила давления груза на поверхность в верхней точке петли? Трением пренебречь. Масса установки вместе с тележкой $m_{2}$ в 4 раза больше массы груза.
Решение:
Чтобы найти силу давления (точнее, нормальную силу реакции $N$), надо записать второй закон Ньютона для верхней точки петли. Но тут возникает проблема: в системе отсчета, связанной с землей, траектория движения груза отлична от окружности, поскольку тележка с установкой движутся с переменной скоростью. Это значит, что радиус кривизны траектории груза может отличаться от $R$. Выход состоит в том, чтобы записать второй закон Ньютона в системе отсчета, связанной с тележкой, где движение происходит по окружности радиусом $R$. Однако есть возражение: тележка под действием силы давления груза движется с ускорением, а значит, связанная с ней система отсчета не является инерциальной. Это возражение справедливо для всех моментов движения, кроме тех, когда груз проходит нижнюю и верхнюю точки петли. В эти моменты сила давления направлена вертикально и ускорение тележки равно нулю, следовательно, силы инерции, которые действуют все остальное время, обращаются в ноль.
Запишем второй закон Ньютона для верхней точки петли:
$m_{1}g + N = \frac{m_{1}v_{отн}^{2} }{R}$.
Здесь $v_{отн}$ - скорость груза относительно тележки, равная
$v_{отн} = v_{1} - v_{2}$,
где $v_{1}$ и $v_{2}$ - проекции скоростей груза и тележки на горизонтальную ось. Эти скорости мы найдем из законов сохранения импульса и энергии:
$0 = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}, m_{1}gh = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2} }{2} + m_{1}g \cdot 2R$,
откуда
$v_{1}^{2} = \frac{2m_{2}}{m_{1} + m_{2} } g (h - 2R) = \frac{8}{5} gR$,
и
$v_{отн} = v_{1} - v_{2} = v_{1} + \frac{m_{1} }{m_{2} } v_{1} = \frac{m_{1} + m_{2} }{m_{2} } v_{1} = \frac{5}{4} v_{1}$.
Подставляя $v_{отн}$ во второй закон Ньютона, получим
$N = \frac{ m_{1} v_{отн}^{2} }{R} - m_{1}g = \frac{25}{16} \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} - m_{1}g = \frac{3}{2}m_{1}g = 3 Н$.
Демонстрационная установка состоит из наклонной плоскости, плавно переходящей в «мертвую петлю» радиусом $R$ (рис.). Установка закреплена на тележке, стоящей на горизонтальной плоскости. Груз массой $m_{1} = 0,2 кг$ съезжает с высоты $h = 3R$, отсчитанной от нижней точки петли. Чему равна сила давления груза на поверхность в верхней точке петли? Трением пренебречь. Масса установки вместе с тележкой $m_{2}$ в 4 раза больше массы груза.
Решение:
Чтобы найти силу давления (точнее, нормальную силу реакции $N$), надо записать второй закон Ньютона для верхней точки петли. Но тут возникает проблема: в системе отсчета, связанной с землей, траектория движения груза отлична от окружности, поскольку тележка с установкой движутся с переменной скоростью. Это значит, что радиус кривизны траектории груза может отличаться от $R$. Выход состоит в том, чтобы записать второй закон Ньютона в системе отсчета, связанной с тележкой, где движение происходит по окружности радиусом $R$. Однако есть возражение: тележка под действием силы давления груза движется с ускорением, а значит, связанная с ней система отсчета не является инерциальной. Это возражение справедливо для всех моментов движения, кроме тех, когда груз проходит нижнюю и верхнюю точки петли. В эти моменты сила давления направлена вертикально и ускорение тележки равно нулю, следовательно, силы инерции, которые действуют все остальное время, обращаются в ноль.
Запишем второй закон Ньютона для верхней точки петли:
$m_{1}g + N = \frac{m_{1}v_{отн}^{2} }{R}$.
Здесь $v_{отн}$ - скорость груза относительно тележки, равная
$v_{отн} = v_{1} - v_{2}$,
где $v_{1}$ и $v_{2}$ - проекции скоростей груза и тележки на горизонтальную ось. Эти скорости мы найдем из законов сохранения импульса и энергии:
$0 = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}, m_{1}gh = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2} }{2} + m_{1}g \cdot 2R$,
откуда
$v_{1}^{2} = \frac{2m_{2}}{m_{1} + m_{2} } g (h - 2R) = \frac{8}{5} gR$,
и
$v_{отн} = v_{1} - v_{2} = v_{1} + \frac{m_{1} }{m_{2} } v_{1} = \frac{m_{1} + m_{2} }{m_{2} } v_{1} = \frac{5}{4} v_{1}$.
Подставляя $v_{отн}$ во второй закон Ньютона, получим
$N = \frac{ m_{1} v_{отн}^{2} }{R} - m_{1}g = \frac{25}{16} \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} - m_{1}g = \frac{3}{2}m_{1}g = 3 Н$.
