Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15003
2021-03-13 
На гладкой горизонтальной плоскости лежат два бруска массами $m_{1} = 400 г$ и $m_{2} = 100 г$, соединенные недеформированной пружиной. Первому бруску сообщают скорость $v_{1} = 10 м/с$ в направлении второго бруска. Найдите минимальную скорость этого бруска в процессе дальнейшего движения.
Решение:
Запишем законы сохранения импульса и энергии системы (рис.):
$m_{1}v_{1} = m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2}$,
$\frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} = \frac{m_{1}u_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}u_{2}^{2} }{2} + \frac{kx^{2} }{2}$,
где $x$ - деформация пружины. Главное для решения задачи - понять, чем интересующий нас момент, когда скорость бруска массой m1 минимальна, отличается от всех остальных моментов движения. Для этого надо рассмотреть действующие на первый брусок силы.
Как только брусок массой $m_{1}$ придет в движение, пружина начнет сжиматься, и на него будет действовать сила упругости, направленная навстречу движению. Предположим, что скорость этого бруска не меняет направления, т.е. что $u_{1}$ все время положительна (позже нам придется проверить это предположение). Тогда скорость $u_{1}$ будет уменьшаться по модулю до тех пор, пока на брусок действует сжатая пружина. Когда пружина перейдет в растянутое состояние, сила упругости будет направлена по движению, и скорость бруска начнет возрастать. Минимальная скорость соответствует тому моменту, когда пружина снова (как до начала движения) придет в недеформированное состояние, т.е. когда $x = 0$. В этот же момент скорость второго бруска будет максимальной.
Система уравнений в этот момент
$m_{1}v_{1} = m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2}$,
$\frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} = \frac{m_{1}u_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}u_{2}^{2} }{2}$
совпадает с системой уравнений для центрального упругого удара (т.е. пружина как бы осуществляет растянутый по времени упругий удар). Решение этой задачи хорошо известно, мы приведем его без вывода:
$u_{1} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2} } v_{1} = 6 м/с, u_{2} = \frac{2m_{1} }{m_{1} + m_{2} } v_{1} = 16м/с$.
Если скорость $u_{2}$ всегда положительна, т.е. получен правильный ответ для максимальной скорости второго бруска при любом соотношении масс, то скорость $u_{1}$ остается положительной только при условии $m_{1} \geq m_{2}$ . Если $m_{1} < m_{2}$, то в процессе движения скорость первого бруска меняет знак, и ответ для минимальной скорости такой: $u_{1} = 0$.
Отметим интересное отличие этой задачи от центрального упругого удара, например, двух шаров. Шары после удара перестают взаимодействовать и разлетаются. В нашем же случае пружина, соединяющая бруски, после рассмотренного момента растягивается, первый брусок начинает тормозиться, второй - разгоняться. Через некоторое время скорость первого бруска достигнет максимального значения $u_{1}^{ \prime}$, а скорость второго - минимального $u_{2}^{ \prime }$. Пружина в этот момент опять не деформирована, т.е. эти скорости подчиняются той же самой системе уравнений. Поскольку скорости должны отличаться от найденных, они представляют собой второе решение этой системы, которое в задаче о центральном упругом ударе отбрасывают: $u_{1}^{ \prime} = v_{1}, u_{2}^{ \prime } = 0$.
На гладкой горизонтальной плоскости лежат два бруска массами $m_{1} = 400 г$ и $m_{2} = 100 г$, соединенные недеформированной пружиной. Первому бруску сообщают скорость $v_{1} = 10 м/с$ в направлении второго бруска. Найдите минимальную скорость этого бруска в процессе дальнейшего движения.
Решение:
Запишем законы сохранения импульса и энергии системы (рис.):
$m_{1}v_{1} = m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2}$,
$\frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} = \frac{m_{1}u_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}u_{2}^{2} }{2} + \frac{kx^{2} }{2}$,
где $x$ - деформация пружины. Главное для решения задачи - понять, чем интересующий нас момент, когда скорость бруска массой m1 минимальна, отличается от всех остальных моментов движения. Для этого надо рассмотреть действующие на первый брусок силы.
Как только брусок массой $m_{1}$ придет в движение, пружина начнет сжиматься, и на него будет действовать сила упругости, направленная навстречу движению. Предположим, что скорость этого бруска не меняет направления, т.е. что $u_{1}$ все время положительна (позже нам придется проверить это предположение). Тогда скорость $u_{1}$ будет уменьшаться по модулю до тех пор, пока на брусок действует сжатая пружина. Когда пружина перейдет в растянутое состояние, сила упругости будет направлена по движению, и скорость бруска начнет возрастать. Минимальная скорость соответствует тому моменту, когда пружина снова (как до начала движения) придет в недеформированное состояние, т.е. когда $x = 0$. В этот же момент скорость второго бруска будет максимальной.
Система уравнений в этот момент
$m_{1}v_{1} = m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2}$,
$\frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} = \frac{m_{1}u_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}u_{2}^{2} }{2}$
совпадает с системой уравнений для центрального упругого удара (т.е. пружина как бы осуществляет растянутый по времени упругий удар). Решение этой задачи хорошо известно, мы приведем его без вывода:
$u_{1} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2} } v_{1} = 6 м/с, u_{2} = \frac{2m_{1} }{m_{1} + m_{2} } v_{1} = 16м/с$.
Если скорость $u_{2}$ всегда положительна, т.е. получен правильный ответ для максимальной скорости второго бруска при любом соотношении масс, то скорость $u_{1}$ остается положительной только при условии $m_{1} \geq m_{2}$ . Если $m_{1} < m_{2}$, то в процессе движения скорость первого бруска меняет знак, и ответ для минимальной скорости такой: $u_{1} = 0$.
Отметим интересное отличие этой задачи от центрального упругого удара, например, двух шаров. Шары после удара перестают взаимодействовать и разлетаются. В нашем же случае пружина, соединяющая бруски, после рассмотренного момента растягивается, первый брусок начинает тормозиться, второй - разгоняться. Через некоторое время скорость первого бруска достигнет максимального значения $u_{1}^{ \prime}$, а скорость второго - минимального $u_{2}^{ \prime }$. Пружина в этот момент опять не деформирована, т.е. эти скорости подчиняются той же самой системе уравнений. Поскольку скорости должны отличаться от найденных, они представляют собой второе решение этой системы, которое в задаче о центральном упругом ударе отбрасывают: $u_{1}^{ \prime} = v_{1}, u_{2}^{ \prime } = 0$.
