Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15002
2021-03-13 
В шар массой $m_{2} = 480 г$ попадает пуля массой $m_{1} = 20 г$, летящая со скоростью $v_{1} = 100 м/с$ по линии, проходящей через центр шара. Считая, что сила сопротивления движению пули в материале шара постоянна и равна $F_{c} = 1650 Н$, найдите конечную скорость шара. Диаметр шара $d = 5 см$.
Решение:
Запишем для данного удара законы сохранения импульса и энергии, с учетом перехода механической энергии во внутреннюю за счет работы силы сопротивления:
$m_{1}v_{1} = m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2}$,
$\frac{mv_{1}^{2} }{2} = \frac{m_{1}u_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2} + Q$,
$Q = F_{c}d$.
Исключая из этих уравнений конечную скорость пули
$u_{1} = v_{1} - \frac{m_{2} }{m_{1} } u_{2}$,
получим для конечной скорости шара $u_{2}$ квадратное уравнение
$\left ( 1 + \frac{m_{2} }{m_{1} } \right ) u_{2}^{2} - 2v_{1}u_{2} + \frac{2F_{c}d}{m_{2} } = 0$.
Решение этого уравнения
$u_{2} = \frac{v_{1} \pm \sqrt{v_{1}^{2} - 2F_{c}d \frac{m_{1} + m_{2} }{m_{1}m_{2} } } }{1 + \frac{m_{2} }{m_{1} } }$
дает два положительных ответа: 2,5 м/с и 5,5 м/с. Какой из них выбрать?
Многие школьники привыкли, что один из ответов обычно получается отрицательным, и заранее отбрасывают решение с минусом перед квадратным корнем. Другие не знают, что делать с двумя положительными корнями, и выбирают наибольший (и получают неверный ответ!). На самом деле, надо вычислить скорость пули в каждом из случаев (используя написанную выше формулу, выражающую $u_{1}$ через $u_{2}$):
$u_{1} = v_{1} - \frac{m_{2} }{m_{1} } u_{2} = \frac{ \sqrt{ v_{1}^{2} - 2F_{c}d \frac{m_{1} + m_{2} }{m_{1}m_{2} } } }{1 + \frac{m_{2} }{m_{1} } }$.
Видно, что если выбрать верхние знаки в формулах для $u_{2}$ и $u_{1}$ (плюс для шара и минус для пули), то скорость пули получится меньше, чем скорость шара: $u_{1} < u_{2}$ (в данном конкретном случае $u_{1}$ отрицательна и равна $u_{1} = -32 м/с$). Значит, пуля в этом случае оказывается с той же стороны от шара, с которой она подлетала. Это соответствует отскоку пули при ударе назад с потерей энергии $Q$. Наоборот, если взять нижние знаки (минус для шара и плюс для пули), то скорость пули оказывается больше, чем скорость шара (в данном случае $u_{1} = 40 м/с$), что соответствует ситуации, когда пуля пробивает шар насквозь и вылетает с другой стороны. Значит, правильный ответ для скорости шара соответствует меньшему корню: $u_{2} = 2,5 м/с$.
В шар массой $m_{2} = 480 г$ попадает пуля массой $m_{1} = 20 г$, летящая со скоростью $v_{1} = 100 м/с$ по линии, проходящей через центр шара. Считая, что сила сопротивления движению пули в материале шара постоянна и равна $F_{c} = 1650 Н$, найдите конечную скорость шара. Диаметр шара $d = 5 см$.
Решение:
Запишем для данного удара законы сохранения импульса и энергии, с учетом перехода механической энергии во внутреннюю за счет работы силы сопротивления:
$m_{1}v_{1} = m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2}$,
$\frac{mv_{1}^{2} }{2} = \frac{m_{1}u_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2} + Q$,
$Q = F_{c}d$.
Исключая из этих уравнений конечную скорость пули
$u_{1} = v_{1} - \frac{m_{2} }{m_{1} } u_{2}$,
получим для конечной скорости шара $u_{2}$ квадратное уравнение
$\left ( 1 + \frac{m_{2} }{m_{1} } \right ) u_{2}^{2} - 2v_{1}u_{2} + \frac{2F_{c}d}{m_{2} } = 0$.
Решение этого уравнения
$u_{2} = \frac{v_{1} \pm \sqrt{v_{1}^{2} - 2F_{c}d \frac{m_{1} + m_{2} }{m_{1}m_{2} } } }{1 + \frac{m_{2} }{m_{1} } }$
дает два положительных ответа: 2,5 м/с и 5,5 м/с. Какой из них выбрать?
Многие школьники привыкли, что один из ответов обычно получается отрицательным, и заранее отбрасывают решение с минусом перед квадратным корнем. Другие не знают, что делать с двумя положительными корнями, и выбирают наибольший (и получают неверный ответ!). На самом деле, надо вычислить скорость пули в каждом из случаев (используя написанную выше формулу, выражающую $u_{1}$ через $u_{2}$):
$u_{1} = v_{1} - \frac{m_{2} }{m_{1} } u_{2} = \frac{ \sqrt{ v_{1}^{2} - 2F_{c}d \frac{m_{1} + m_{2} }{m_{1}m_{2} } } }{1 + \frac{m_{2} }{m_{1} } }$.
Видно, что если выбрать верхние знаки в формулах для $u_{2}$ и $u_{1}$ (плюс для шара и минус для пули), то скорость пули получится меньше, чем скорость шара: $u_{1} < u_{2}$ (в данном конкретном случае $u_{1}$ отрицательна и равна $u_{1} = -32 м/с$). Значит, пуля в этом случае оказывается с той же стороны от шара, с которой она подлетала. Это соответствует отскоку пули при ударе назад с потерей энергии $Q$. Наоборот, если взять нижние знаки (минус для шара и плюс для пули), то скорость пули оказывается больше, чем скорость шара (в данном случае $u_{1} = 40 м/с$), что соответствует ситуации, когда пуля пробивает шар насквозь и вылетает с другой стороны. Значит, правильный ответ для скорости шара соответствует меньшему корню: $u_{2} = 2,5 м/с$.
