2014-05-31
В углах расположенного на горизонтальной плоскости правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной $l$ находятся черепахи a,b,c,d,e и f. В некоторый момент времени они начинают двигаться с постоянной по величине скоростью $v$ так, что в любой момент скорость черепахи а направлена к той точке плоскости, где в этот момент находится черепаха b, скорость черепахи b направлена к той же точке плоскости, где в этот момент находится черепаха с, и т. д. Какой путь пройдет каждая черепаха до встречи? Размерами черепах пренебречь.
Решение:
Поскольку каждая черепаха ползет с постоянной по величине скоростью v, то длина L проходимого ею за время Т пути вдоль некоторой кривой определяются формулой
$L = vT$. (1)
Таким образом, решение задачи сводится к нахождению времени Т.
В любой момент времени t после начала движения черепахи находятся в вершинах правильного шестиугольника с центром в точке О, и встреча черепах также произойдет в точке О.
Далее мы не будем приводить рассуждения, подробно изложенные в
Задаче по физике 149, а покажем лишь результат, к которому они приводят.
Так же, как и в задаче 149, вектор скорости черепахи (мы рассматриваем черепаху а) имеет постоянную во времени длину и
$|\bar{v(t)}| = v = const$
Проекция вектора $\bar{v}$ на направление OA равна
$v_{r}=v/2$.
Расстояние $r(t)$ черепахи от центра с течением времени меняется по закону
$r(t)=r_{0}-v_{r}t=l-vt/2$ .(2)
Здесь $r_{0} = АО = l$ - начальное расстояние черепахи от центра. В момент $t = T$, когда черепахи встретятся, $r = 0$. Положив в (2) $t=T$ и $r(T) = 0$, имеем уравнение
$l-vT/2=0$.
Решая это уравнение, находим:
$T=2lv$. (3)
Исключая из уравнений (1) и (3) время Т, получаем для длины ну пути L, проходимого черепахой до момента встречи: $L=2l$.
Таким образом, проходимый черепахами до момента встречи путь не зависит от скорости их движения v и ровно в два раза превосходит длину стороны шестиугольника.