Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14999
2021-03-13 
Груз массой $m = 1,6 кг$ подвешен к потолку на упругом резиновом шнуре жесткостью $k = 250 Н/м$. Грузу резким толчком сообщают начальную скорость $v_{0} = 1м/с$, направленную вертикально вверх. На какую максимальную высоту ( отсчитывая от начальной точки) поднимется груз?
Решение:
Наиболее часто встречающаяся ошибка состоит в том, что не обращают внимания на слова про резиновый шнур и решают задачу так, как будто груз висит на пружине. Однако шнур, в отличие от пружины, работает только на растяжение. Если шнур не растягивать, а «сжимать» (сближать его концы), то он теряет форму, изгибается, не оказывая никакого сопротивления.
Давайте и мы начнем решение со случая груза на пружине и посмотрим, не даст ли нам сам ответ (как это часто бывает) какую-нибудь подсказку, «сигнал» о том, что что-то не в порядке. Заодно поговорим о важном методическом приеме, помогающем существенно упрощать решение задач с вертикальными пружинами.
Запишем закон сохранения энергии системы, отсчитывая потенциальную энергию тяготения от начального положения груза (рис.):
$\frac{kx_{0}^{2}}{2} = \frac{mv_{0}^{2}}{2} = mgh + \frac{k(x_{0} - h )^{2} }{2}$.
Здесь $h$ - искомая высота, а $x_{0}$ - начальное растяжение пружины (шнура), которое находится из условия равновесия висящего груза:
$kx_{0} - mg = 0$.
Раскрывая скобки в законе сохранения энергии и подставляя $x_{0}$, приходим к совсем короткому уравнению
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{kh^{2}}{2}$.
Заметим, что ускорение силы тяжести g вообще не вошло в конечное уравнение, как будто поле тяжести отсутствует. В чем причина? Здесь проявилось следующее свойство груза на пружине: если отсчитывать общую потенциальную энергию для равнодействующей силы тяжести и силы упругости от положения равновесия, то она принимает вид $E_{п} = \frac{ky^{2}}{2}$, где $y = x - x_{0}$ - смещение из этого положения. Действительно, равнодействующая сила в положении равновесия равна нулю, а при смещении груза на $y$ возникает сила $F_{y} = -ky$, равная изменению силы упругости (сила тяжести не меняется). Поскольку сама равнодействующая такая же, как сила упругости, то и потенциальная энергия для нее такая же, как для чистой силы упругости. Это свойство часто используется молча, без всяких пояснений, например - при рассмотрении вертикальных колебаний груза на пружине.
Подставляя численные данные в последнее уравнение, находим искомую высоту:
$h = v_{0} \sqrt{ \frac{m}{k} } = 80 мм$.
Вернемся к задаче со шнуром. Казалось бы, полученный ответ как в общем виде, так и в числовом выражении ничем не помогает нам заметить допущенную ошибку. Однако будем внимательны и, заподозрив подвох, проверим, остается ли шнур в растянутом состоянии до самого верхнего положения груза. Для этого вычислим начальное растяжение шнура $x_{0}$ и сравним его с $h$:
$x_{0} = \frac{mg}{k} = 64 мм < h = 80 мм$.
Видим, что груз при подъеме проходит точку, после которой шнур теряет свои упругие качества, изгибается, и сила упругости исчезает. Условие исчезновения силы упругости имеет вид
$v_{0} \sqrt{ \frac{m}{k} } > \frac{mg}{k}$, или $v_{0} > g \sqrt{ \frac{m}{k} }$.
В таком случае задачу надо решать заново.
Упрощающий подход с объединением силы тяжести и силы упругости больше не действует (на некотором этапе движения сила упругости исчезает), и закон сохранения энергии надо записать так:
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} + \frac{kx_{0}^{2} }{2} = mgh$,
откуда (с учетом равенства $x_{0} = \frac{mg}{k}$) получим окончательный ответ:
$h = \frac{v_{0}^{2} }{2g} + \frac{mg}{2k} = 82 мм$.
Груз массой $m = 1,6 кг$ подвешен к потолку на упругом резиновом шнуре жесткостью $k = 250 Н/м$. Грузу резким толчком сообщают начальную скорость $v_{0} = 1м/с$, направленную вертикально вверх. На какую максимальную высоту ( отсчитывая от начальной точки) поднимется груз?
Решение:
Наиболее часто встречающаяся ошибка состоит в том, что не обращают внимания на слова про резиновый шнур и решают задачу так, как будто груз висит на пружине. Однако шнур, в отличие от пружины, работает только на растяжение. Если шнур не растягивать, а «сжимать» (сближать его концы), то он теряет форму, изгибается, не оказывая никакого сопротивления.
Давайте и мы начнем решение со случая груза на пружине и посмотрим, не даст ли нам сам ответ (как это часто бывает) какую-нибудь подсказку, «сигнал» о том, что что-то не в порядке. Заодно поговорим о важном методическом приеме, помогающем существенно упрощать решение задач с вертикальными пружинами.
Запишем закон сохранения энергии системы, отсчитывая потенциальную энергию тяготения от начального положения груза (рис.):
$\frac{kx_{0}^{2}}{2} = \frac{mv_{0}^{2}}{2} = mgh + \frac{k(x_{0} - h )^{2} }{2}$.
Здесь $h$ - искомая высота, а $x_{0}$ - начальное растяжение пружины (шнура), которое находится из условия равновесия висящего груза:
$kx_{0} - mg = 0$.
Раскрывая скобки в законе сохранения энергии и подставляя $x_{0}$, приходим к совсем короткому уравнению
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{kh^{2}}{2}$.
Заметим, что ускорение силы тяжести g вообще не вошло в конечное уравнение, как будто поле тяжести отсутствует. В чем причина? Здесь проявилось следующее свойство груза на пружине: если отсчитывать общую потенциальную энергию для равнодействующей силы тяжести и силы упругости от положения равновесия, то она принимает вид $E_{п} = \frac{ky^{2}}{2}$, где $y = x - x_{0}$ - смещение из этого положения. Действительно, равнодействующая сила в положении равновесия равна нулю, а при смещении груза на $y$ возникает сила $F_{y} = -ky$, равная изменению силы упругости (сила тяжести не меняется). Поскольку сама равнодействующая такая же, как сила упругости, то и потенциальная энергия для нее такая же, как для чистой силы упругости. Это свойство часто используется молча, без всяких пояснений, например - при рассмотрении вертикальных колебаний груза на пружине.
Подставляя численные данные в последнее уравнение, находим искомую высоту:
$h = v_{0} \sqrt{ \frac{m}{k} } = 80 мм$.
Вернемся к задаче со шнуром. Казалось бы, полученный ответ как в общем виде, так и в числовом выражении ничем не помогает нам заметить допущенную ошибку. Однако будем внимательны и, заподозрив подвох, проверим, остается ли шнур в растянутом состоянии до самого верхнего положения груза. Для этого вычислим начальное растяжение шнура $x_{0}$ и сравним его с $h$:
$x_{0} = \frac{mg}{k} = 64 мм < h = 80 мм$.
Видим, что груз при подъеме проходит точку, после которой шнур теряет свои упругие качества, изгибается, и сила упругости исчезает. Условие исчезновения силы упругости имеет вид
$v_{0} \sqrt{ \frac{m}{k} } > \frac{mg}{k}$, или $v_{0} > g \sqrt{ \frac{m}{k} }$.
В таком случае задачу надо решать заново.
Упрощающий подход с объединением силы тяжести и силы упругости больше не действует (на некотором этапе движения сила упругости исчезает), и закон сохранения энергии надо записать так:
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} + \frac{kx_{0}^{2} }{2} = mgh$,
откуда (с учетом равенства $x_{0} = \frac{mg}{k}$) получим окончательный ответ:
$h = \frac{v_{0}^{2} }{2g} + \frac{mg}{2k} = 82 мм$.
