Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1499
2016-11-27 
Найти теплоемкость системы, состоящей из перекрытого поршнем сосуда с одноатомным газом (параметры $P_{0}, V_{0}, T_{0}$). Поршень удерживается пружиной. Слева от поршня вакуум. Если газ откачать, поршень соприкоснется с правой стенкой сосуда, а пружина будет недеформирована. Теплоемкостями сосуда, поршня и пружины пренебречь.
Решение:
По определению теплоемкости:
$C = \frac{ \Delta Q}{ \Delta T}$, (1)
где, согласно первому закону термодинамики:
$\Delta Q = \Delta U + A$, (2)
Изменение внутренней энергии:
$\Delta U = \nu R \Delta T$. (3)
Записывая уравнения (1—3), полагаем, что газ переходит из начального состояния с параметрами $P_{0}, V_{0}, T_{0}$ в конечное с параметрами $P_{0} + \Delta P, V_{0} + \Delta V, T_{0} + \Delta T$. При этом газу сообщается количество тепла $\Delta Q$, его внутренняя энергия увеличивается на $\Delta U$ и он совершает работу $A = P \Delta V$. Предполагаем, что величина $\Delta T$, а вместе с ней и все другие приращения $\Delta V, \Delta P, \Delta P, \Delta Q$ и $A$ весьма малы, в пределе Стремятся к нулю. Поэтому, в частности, записывая выражение для совершенной газом работы $A = P \Delta V$, считаем, что в процессе перехода газа из начального состояния в конечное давление практически не меняется.
Воспользуемся уравнением Менделеева - Клапейрона для обоих состояний газа:
$P_{0}V_{0} = \nu RT_{0}$ (4)
$(P_{0} + \Delta P)(V_{0} + \Delta V) = \nu R (T_{0} + \Delta T)$. (5)
Согласно закону Ньютона (условие равновесия поршня):
$kx_{0} = P_{0}S$ (6)
$k(x_{0} + \Delta x) = (P_{0} + \Delta P)S$, (7)
где введены обозначения: $x_{0}$ — расстояние от правой стенки до поршня в начальном состоянии, $\Delta x + x_{0}$ — в конечном, $S$ — площадь сечения поршня.
Кроме того, очевидно, что
$\Delta V = S \Delta x$. (8)
Работа $A = P_{0} \Delta V$, которую совершает газ, идет, согласно закону сохранения энергии, на увеличение потенциальной энергии сжатой пружины:
$P_{0} \Delta V = \frac{k(x_{0} + \Delta x)^{2}}{2} - \frac{kx_{0}^{2}}{2}$, (9)
где первое слагаемое в правой части — потенциальная энергия пружины в конечном состоянии, второе — в начальном.
Воспользуемся полученной системой уравнений для решения задачи. Вычитая уравнение (4) из (5) и воспользовавшись малостью произведения $\Delta P \Delta V$ по сравнению с другими членами, получим:
$P_{0} \Delta V + V \Delta V = \nu R \Delta T$. (10)
Вычитая уравнение (8) из (7), находим:
$k \Delta x = \Delta P S$. (11)
Пренебрегая в (9) величиной $\frac{k \Delta x^{2}}{2}$ по сравнению с другими, имеем:
$P_{0} \Delta V = kx_{0} \Delta x$. (12)
Умножая (11) на $x_{0}$ и учитывая (8) и (12), получим:
$P_{0} \Delta V = V_{0} \Delta P$, (13)
так что (10) принимает вид:
$2P_{0} \Delta V = \nu R \Delta T$ (14)
или
$P_{0} \Delta V = \frac{ \nu R}{2} \Delta T$.
Подставляя в (2) $P_{0} \Delta V$ из (14), а затем полученное $\Delta Q$ в (1), и воспользовавшись $\nu R = \frac{P_{0}V_{0}}{T_{0}}$ из (4), окончательно находим:
$C = 2 \frac{P_{0}V_{0}}{T_{0}}$.
Полезно рассмотреть другой вариант решения задачи. Будем охлаждать газ, переводя его из начального состояния $(P_{0}, V_{0}, T_{0})$ в конечное с температурой, стремящейся в пределе к нулю. То есть будем считать, что в конечном состоянии температура газа практически равна нулю. При этом газ не производит давления на поршень (согласно основным представлениям молекулярно-кинетической теории) и, следовательно, поршень займет крайне правое положение, практически касаясь стенки сосуда. Весьма малый объем, остающийся между поршнем и стенкой, соответствует объему плотно упакованных молекул (атомов), и мы будем им пренебрегать.
Считая полученное состояние газа начальным, подведем к нему некоторое количество тепла $Q$. Согласно первому закону термодинамики:
$Q = \Delta U + A$, (1)
где $\Delta U$ — приращение внутренней энергии —совпадает с самой внутренней энергией, поскольку внутренняя энергия газа в начальном состоянии равна нулю:
$\Delta U = U = \frac{3}{2} \nu RT$, (2)
а работа, совершенная газом, равна потенциальной энергии сжавшейся пружины (в начальном состоянии пружина, согласно условию задачи, не напряжена и, следовательно, потенциальной энергией не обладает):
$A = \frac{kx^{2}}{2}$. (3)
Запишем уравнение Менделеева - Клапейрона для газа, после сообщения ему , энергии $Q$:
$PV = \nu RT$ (4)
и закон Ньютона (условие равновесия поршня):
$kx = PS$, (5)
где $x$ — расстояние от правой стенки до поршня, причем, очевидно:
$V = xS$. (6)
Из (1—6) после несложных вычислений (умножая обе части (5) на $\frac{x}{2}$ и т.д.) получаем:
$Q = 2 \nu RT$. (7)
Записывая (7) для различных $Q_{1}$ и $Q_{2}$ и вычитая одно уравнение из другого, находим:
$C = \frac{ \Delta Q}{ \Delta T} = \frac{Q_{2} - Q_{1}}{T_{2} - T_{1}} = 2 \nu R$.
Величину $\nu R$ определим из уравнения Менделеева - Клапейрона для состояния газа с заданными в условии задачи параметрами:
$\nu R = \frac{P_{0}V_{0}}{T_{0}}$.
Итак, окончательно,
$C = \frac{2P_{0}V_{0}}{T_{0}}$.
Найти теплоемкость системы, состоящей из перекрытого поршнем сосуда с одноатомным газом (параметры $P_{0}, V_{0}, T_{0}$). Поршень удерживается пружиной. Слева от поршня вакуум. Если газ откачать, поршень соприкоснется с правой стенкой сосуда, а пружина будет недеформирована. Теплоемкостями сосуда, поршня и пружины пренебречь.
Решение:
По определению теплоемкости:
$C = \frac{ \Delta Q}{ \Delta T}$, (1)
где, согласно первому закону термодинамики:
$\Delta Q = \Delta U + A$, (2)
Изменение внутренней энергии:
$\Delta U = \nu R \Delta T$. (3)
Записывая уравнения (1—3), полагаем, что газ переходит из начального состояния с параметрами $P_{0}, V_{0}, T_{0}$ в конечное с параметрами $P_{0} + \Delta P, V_{0} + \Delta V, T_{0} + \Delta T$. При этом газу сообщается количество тепла $\Delta Q$, его внутренняя энергия увеличивается на $\Delta U$ и он совершает работу $A = P \Delta V$. Предполагаем, что величина $\Delta T$, а вместе с ней и все другие приращения $\Delta V, \Delta P, \Delta P, \Delta Q$ и $A$ весьма малы, в пределе Стремятся к нулю. Поэтому, в частности, записывая выражение для совершенной газом работы $A = P \Delta V$, считаем, что в процессе перехода газа из начального состояния в конечное давление практически не меняется.
Воспользуемся уравнением Менделеева - Клапейрона для обоих состояний газа:
$P_{0}V_{0} = \nu RT_{0}$ (4)
$(P_{0} + \Delta P)(V_{0} + \Delta V) = \nu R (T_{0} + \Delta T)$. (5)
Согласно закону Ньютона (условие равновесия поршня):
$kx_{0} = P_{0}S$ (6)
$k(x_{0} + \Delta x) = (P_{0} + \Delta P)S$, (7)
где введены обозначения: $x_{0}$ — расстояние от правой стенки до поршня в начальном состоянии, $\Delta x + x_{0}$ — в конечном, $S$ — площадь сечения поршня.
Кроме того, очевидно, что
$\Delta V = S \Delta x$. (8)
Работа $A = P_{0} \Delta V$, которую совершает газ, идет, согласно закону сохранения энергии, на увеличение потенциальной энергии сжатой пружины:
$P_{0} \Delta V = \frac{k(x_{0} + \Delta x)^{2}}{2} - \frac{kx_{0}^{2}}{2}$, (9)
где первое слагаемое в правой части — потенциальная энергия пружины в конечном состоянии, второе — в начальном.
Воспользуемся полученной системой уравнений для решения задачи. Вычитая уравнение (4) из (5) и воспользовавшись малостью произведения $\Delta P \Delta V$ по сравнению с другими членами, получим:
$P_{0} \Delta V + V \Delta V = \nu R \Delta T$. (10)
Вычитая уравнение (8) из (7), находим:
$k \Delta x = \Delta P S$. (11)
Пренебрегая в (9) величиной $\frac{k \Delta x^{2}}{2}$ по сравнению с другими, имеем:
$P_{0} \Delta V = kx_{0} \Delta x$. (12)
Умножая (11) на $x_{0}$ и учитывая (8) и (12), получим:
$P_{0} \Delta V = V_{0} \Delta P$, (13)
так что (10) принимает вид:
$2P_{0} \Delta V = \nu R \Delta T$ (14)
или
$P_{0} \Delta V = \frac{ \nu R}{2} \Delta T$.
Подставляя в (2) $P_{0} \Delta V$ из (14), а затем полученное $\Delta Q$ в (1), и воспользовавшись $\nu R = \frac{P_{0}V_{0}}{T_{0}}$ из (4), окончательно находим:
$C = 2 \frac{P_{0}V_{0}}{T_{0}}$.
Полезно рассмотреть другой вариант решения задачи. Будем охлаждать газ, переводя его из начального состояния $(P_{0}, V_{0}, T_{0})$ в конечное с температурой, стремящейся в пределе к нулю. То есть будем считать, что в конечном состоянии температура газа практически равна нулю. При этом газ не производит давления на поршень (согласно основным представлениям молекулярно-кинетической теории) и, следовательно, поршень займет крайне правое положение, практически касаясь стенки сосуда. Весьма малый объем, остающийся между поршнем и стенкой, соответствует объему плотно упакованных молекул (атомов), и мы будем им пренебрегать.
Считая полученное состояние газа начальным, подведем к нему некоторое количество тепла $Q$. Согласно первому закону термодинамики:
$Q = \Delta U + A$, (1)
где $\Delta U$ — приращение внутренней энергии —совпадает с самой внутренней энергией, поскольку внутренняя энергия газа в начальном состоянии равна нулю:
$\Delta U = U = \frac{3}{2} \nu RT$, (2)
а работа, совершенная газом, равна потенциальной энергии сжавшейся пружины (в начальном состоянии пружина, согласно условию задачи, не напряжена и, следовательно, потенциальной энергией не обладает):
$A = \frac{kx^{2}}{2}$. (3)
Запишем уравнение Менделеева - Клапейрона для газа, после сообщения ему , энергии $Q$:
$PV = \nu RT$ (4)
и закон Ньютона (условие равновесия поршня):
$kx = PS$, (5)
где $x$ — расстояние от правой стенки до поршня, причем, очевидно:
$V = xS$. (6)
Из (1—6) после несложных вычислений (умножая обе части (5) на $\frac{x}{2}$ и т.д.) получаем:
$Q = 2 \nu RT$. (7)
Записывая (7) для различных $Q_{1}$ и $Q_{2}$ и вычитая одно уравнение из другого, находим:
$C = \frac{ \Delta Q}{ \Delta T} = \frac{Q_{2} - Q_{1}}{T_{2} - T_{1}} = 2 \nu R$.
Величину $\nu R$ определим из уравнения Менделеева - Клапейрона для состояния газа с заданными в условии задачи параметрами:
$\nu R = \frac{P_{0}V_{0}}{T_{0}}$.
Итак, окончательно,
$C = \frac{2P_{0}V_{0}}{T_{0}}$.
