Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14963
2021-03-07 
Квадратная сверхпроводящая рамка покоится на гладкой горизонтальной поверхности. Масса рамки $m$, длина стороны $d$, индуктивность $L$. Вся система находится в неоднородном магнитном поле, вертикальная составляющая которого зависит от координаты $x$ следующим образом: $B_{z} = B_{0} (1 + \alpha x)$. Рамке толчком сообщают скорость $v_{0}$ вдоль оси $OX$. Установите закон движения рамки.
Решение:
При перемещении рамки магнитный поток внешнего поля через контур рамки изменяется. Возникающий индукционный ток создает свой магнитный поток, компенсирующий изменение потока внешнего поля, так как суммарный магнитный поток через контур сверхпроводника измениться не может:
$\Delta \Phi_{вн} + \Delta \Phi_{соб} = 0$, или $B_{0}d^{2} \alpha \Delta x + Li = 0$.
Отсюда для индукционного тока получаем
$i = - \frac{B_{0} d^{2} \alpha}{L} \Delta x$.
На все стороны рамки с индукционным током действуют силы Ампера. Равнодействующая этих сил, направленная по оси $OX$, равна
$F = iB_{0}d \alpha ((x + d + \Delta x) - (x + \Delta x)) = iB_{0}d^{2} \alpha = - \frac{B_{0}^{2}d^{4} \alpha^{2} }{L} \Delta x$.
Это - квазиупругая сила. Следовательно, рамка будет совершать гармонические колебания с циклической частотой
$\omega = \frac{B_{0}d^{2} \alpha}{ \sqrt{Lm} }$.
Так как начальная скорость $v_{0}$ - амплитудная, для амплитуды колебаний получим
$x_{0} = \frac{v_{0} }{ \omega }$.
Тогда уравнение колебаний рамки примет вид
$x(t) = \frac{v_{0} \sqrt{Lm} }{B_{0}d^{2} \alpha } \sin \frac{B_{0}d^{2} \alpha }{ \sqrt{Lm} } t$.
Интересным проявлением закона сохранения потока магнитной индукции является согласованное изменение токов в катушках индуктивности с пренебрежимо малым активным сопротивлением при их параллельном соединении. Изменения токов могут быть вызваны, скажем, разрядкой конденсатора, включенного параллельно катушкам. Рассмотрим этот пример подробнее.
Пусть параллельно соединенные катушки имеют индуктивности $L_{1}$ и $L_{2}$. Создаваемые токами потоки магнитной индукции в катушках равны $\Phi_{1} = L_{1}i_{1}$ и $\Phi_{2} = L_{2}i_{2}$. Допустим, что в момент замыкания ключа конденсатор заряжен, а тока в катушках нет. ЭДС самоиндукции, возникающая при разрядке, препятствует нарастанию токов. Выделим контур, содержащий две катушки с пренебрежимо малым активным сопротивлением. По второму правилу Кирхгофа для этого контура можно записать
$L_{1} \frac{ \Delta i_{1} }{ \Delta t} - L_{2} \frac{ \Delta i_{2}}{ \Delta t} = 0$, или $L_{1} (i_{1} - i_{01}) = L_{2} (i_{2} - i_{02} )$.
Перегруппируем слагаемые и получим
$L_{1}i_{1} - L_{2}i_{2} = L_{1}i_{01} - L_{2}i_{02} = const$.
Если потоку с током, текущим против направления обхода контура, приписывать отрицательный знак, то полученное соотношение формулируется так: при изменениях токов в параллельных идеальных катушках алгебраическая сумма потоков магнитного поля в контуре остается неизменной.
Проверим этот вывод на других ситуациях.
Пусть ключ подключает катушку индуктивностью $L_{2}$ в момент, когда ток в катушке индуктивностью $L_{1}$ достигает значения $I_{1}$. Тогда по второму правилу Кирхгофа получим
$L_{1} \frac{ \Delta i_{1} }{ \Delta t} - L_{2} \frac{ \Delta i_{2} }{ \Delta t} = 0$, или $L_{1}i_{1} - L_{2}i_{2} = L_{1}i_{0} = const$.
Прежняя формулировка справедлива.
Усложним ситуацию: допустим, ключ замыкают в момент полной разрядки конденсатора, когда ток в первой катушке $i_{01}$ максимален. Возникающая ЭДС противоположной полярности приведет к убыли тока $i_{1}$ в первой катушке и росту тока $i_{2}$ противоположного направления во второй катушке. ЭДС в катушках по-прежнему разнятся знаками, но теперь уже сама величина $\frac{ \Delta i_{1} }{ \Delta t}$ отрицательна. Поэтому второе правило Кирхгофа примет вид
$-L_{1} \frac{ \Delta i_{1} }{ \Delta t} - L_{2} \frac{ \Delta i_{2}}{ \Delta t} = 0$.
Отсюда следует
$- (L_{1}i_{1} - L_{1}i_{01}) = L_{2}i_{2}$, или $L_{2}i_{2} + L_{1} i_{1} = L_{1}i_{01} = const$.
Для этого случая по отношению к направлению обхода оба потока положительны - формулировка закона сохранения потока выполняется.
Квадратная сверхпроводящая рамка покоится на гладкой горизонтальной поверхности. Масса рамки $m$, длина стороны $d$, индуктивность $L$. Вся система находится в неоднородном магнитном поле, вертикальная составляющая которого зависит от координаты $x$ следующим образом: $B_{z} = B_{0} (1 + \alpha x)$. Рамке толчком сообщают скорость $v_{0}$ вдоль оси $OX$. Установите закон движения рамки.
Решение:
При перемещении рамки магнитный поток внешнего поля через контур рамки изменяется. Возникающий индукционный ток создает свой магнитный поток, компенсирующий изменение потока внешнего поля, так как суммарный магнитный поток через контур сверхпроводника измениться не может:
$\Delta \Phi_{вн} + \Delta \Phi_{соб} = 0$, или $B_{0}d^{2} \alpha \Delta x + Li = 0$.
Отсюда для индукционного тока получаем
$i = - \frac{B_{0} d^{2} \alpha}{L} \Delta x$.
На все стороны рамки с индукционным током действуют силы Ампера. Равнодействующая этих сил, направленная по оси $OX$, равна
$F = iB_{0}d \alpha ((x + d + \Delta x) - (x + \Delta x)) = iB_{0}d^{2} \alpha = - \frac{B_{0}^{2}d^{4} \alpha^{2} }{L} \Delta x$.
Это - квазиупругая сила. Следовательно, рамка будет совершать гармонические колебания с циклической частотой
$\omega = \frac{B_{0}d^{2} \alpha}{ \sqrt{Lm} }$.
Так как начальная скорость $v_{0}$ - амплитудная, для амплитуды колебаний получим
$x_{0} = \frac{v_{0} }{ \omega }$.
Тогда уравнение колебаний рамки примет вид
$x(t) = \frac{v_{0} \sqrt{Lm} }{B_{0}d^{2} \alpha } \sin \frac{B_{0}d^{2} \alpha }{ \sqrt{Lm} } t$.
Интересным проявлением закона сохранения потока магнитной индукции является согласованное изменение токов в катушках индуктивности с пренебрежимо малым активным сопротивлением при их параллельном соединении. Изменения токов могут быть вызваны, скажем, разрядкой конденсатора, включенного параллельно катушкам. Рассмотрим этот пример подробнее.
Пусть параллельно соединенные катушки имеют индуктивности $L_{1}$ и $L_{2}$. Создаваемые токами потоки магнитной индукции в катушках равны $\Phi_{1} = L_{1}i_{1}$ и $\Phi_{2} = L_{2}i_{2}$. Допустим, что в момент замыкания ключа конденсатор заряжен, а тока в катушках нет. ЭДС самоиндукции, возникающая при разрядке, препятствует нарастанию токов. Выделим контур, содержащий две катушки с пренебрежимо малым активным сопротивлением. По второму правилу Кирхгофа для этого контура можно записать
$L_{1} \frac{ \Delta i_{1} }{ \Delta t} - L_{2} \frac{ \Delta i_{2}}{ \Delta t} = 0$, или $L_{1} (i_{1} - i_{01}) = L_{2} (i_{2} - i_{02} )$.
Перегруппируем слагаемые и получим
$L_{1}i_{1} - L_{2}i_{2} = L_{1}i_{01} - L_{2}i_{02} = const$.
Если потоку с током, текущим против направления обхода контура, приписывать отрицательный знак, то полученное соотношение формулируется так: при изменениях токов в параллельных идеальных катушках алгебраическая сумма потоков магнитного поля в контуре остается неизменной.
Проверим этот вывод на других ситуациях.
Пусть ключ подключает катушку индуктивностью $L_{2}$ в момент, когда ток в катушке индуктивностью $L_{1}$ достигает значения $I_{1}$. Тогда по второму правилу Кирхгофа получим
$L_{1} \frac{ \Delta i_{1} }{ \Delta t} - L_{2} \frac{ \Delta i_{2} }{ \Delta t} = 0$, или $L_{1}i_{1} - L_{2}i_{2} = L_{1}i_{0} = const$.
Прежняя формулировка справедлива.
Усложним ситуацию: допустим, ключ замыкают в момент полной разрядки конденсатора, когда ток в первой катушке $i_{01}$ максимален. Возникающая ЭДС противоположной полярности приведет к убыли тока $i_{1}$ в первой катушке и росту тока $i_{2}$ противоположного направления во второй катушке. ЭДС в катушках по-прежнему разнятся знаками, но теперь уже сама величина $\frac{ \Delta i_{1} }{ \Delta t}$ отрицательна. Поэтому второе правило Кирхгофа примет вид
$-L_{1} \frac{ \Delta i_{1} }{ \Delta t} - L_{2} \frac{ \Delta i_{2}}{ \Delta t} = 0$.
Отсюда следует
$- (L_{1}i_{1} - L_{1}i_{01}) = L_{2}i_{2}$, или $L_{2}i_{2} + L_{1} i_{1} = L_{1}i_{01} = const$.
Для этого случая по отношению к направлению обхода оба потока положительны - формулировка закона сохранения потока выполняется.
