Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14961
2021-03-07 
Вблизи северного полюса вертикально расположенного намагниченного стержня находится тонкая кольцевая катушка массой $m = 10 г$. Катушка может свободно перемещаться вдоль вертикальной оси $OZ$. Катушку заставляют колебаться около полюса по гармоническому закону с амплитудой $A = 5 мм$ и частотой $\nu = 50 Гц$. При этом на ее разомкнутых концах появляется переменная электродвижущая сила с амплитудой $\mathcal{E}_{0} = 1 В$. Какой постоянным ток $I_{0}$ нужно пропустить через катушку, чтобы она зависла в исходном положении?
Решение:
Требуемое условие зависания катушки обеспечивается компенсацией силы тяжести вертикальной составляющей силы Ампера, которая, в свою очередь, определяется радиальной составляющей индукции магнитного поля:
$mg = F_{Ay}, F_{Ay} = I_{0} \cdot 2 \pi RN \cdot B_{r}$,
где $R$ и $N$ - радиус и число витков катушки. При колебаниях катушки ее смещение вдоль оси $OZ$ изменяет поток магнитной индукции и создает ЭДС индукции, которая определяется скоростью изменения потока:
$\mathcal{E} = \left | \frac{ \Delta \Phi }{ \Delta t} \right | = N \pi R^{2} \frac{ \Delta B_{z} }{ \Delta t} = N \pi R^{2} \frac{ \Delta B_{z} }{ \Delta z} v$.
При амплитудном значении скорости $v$ колебаний катушки максимальна и ЭДС:
$v_{0} = 2 \pi \nu A, \mathcal{E} = N \pi R^{2} \frac{ \Delta B_{z} }{ \Delta z} 2 \pi \nu A$.
Теорема Гаусса позволяет установить связь между радиальной составляющей магнитной индукции и быстротой изменения индукции вдоль вертикальной оси. Катушка при колебаниях «вырезает» в пространстве цилиндр радиусом $R$ и высотой $\Delta z$. По теореме Гаусса потоки через торцы и через боковую поверхность этого цилиндра равны:
$\frac{ \Delta B_{z} }{ \Delta z} \Delta z \pi R^{2} = B_{r} 2 \pi R \Delta z$,
откуда
$\frac{ \Delta B_{z}}{ \Delta z} = \frac{2B_{r} }{R}$.
Теперь из выражения для максимальной ЭДС индукции получим
$B_{r} = \frac{ \mathcal{E}_{0}}{4 \pi^{2} RN \nu A }$,
а из условия равновесия катушки найдем
$I_{0} = \frac{mg}{2 \pi R N B_{r} } = \frac{2 \pi mg \nu A}{ \mathcal{E}_{0} } = 0,15 А$.
Важным примером применения закона сохранения потока магнитной индукции является оценка индукционного тока, наводимого внешним магнитным полем в сверхпроводящем контуре. Здесь необходимо учитывать изменения потоков магнитной индукции через площадь сверхпроводящего контура как внешнего поля, так и поля, создаваемого индукционным током. Действительно, изменение потока магнитной индукции через площадь контура порождает в нем ЭДС индукции. А если контур сверхпроводящий, то чем ограничивается возникающий в нем индукционный ток? Оказывается, в таком случае нельзя пренебрегать магнитным потоком поля, созданного этим индукционным током. В соответствии с теоремой Гаусса, алгебраическая сумма потоков магнитной индукции внешнего поля и поля индукционного тока через площадь сверхпроводящего контура остается неизменной. Иначе говоря, изменение потока внешнего поля вызывает такое изменение тока в сверхпроводящем контуре, что создаваемый индукционным током поток магнитной индукции компенсирует это изменение.
Вблизи северного полюса вертикально расположенного намагниченного стержня находится тонкая кольцевая катушка массой $m = 10 г$. Катушка может свободно перемещаться вдоль вертикальной оси $OZ$. Катушку заставляют колебаться около полюса по гармоническому закону с амплитудой $A = 5 мм$ и частотой $\nu = 50 Гц$. При этом на ее разомкнутых концах появляется переменная электродвижущая сила с амплитудой $\mathcal{E}_{0} = 1 В$. Какой постоянным ток $I_{0}$ нужно пропустить через катушку, чтобы она зависла в исходном положении?
Решение:
Требуемое условие зависания катушки обеспечивается компенсацией силы тяжести вертикальной составляющей силы Ампера, которая, в свою очередь, определяется радиальной составляющей индукции магнитного поля:
$mg = F_{Ay}, F_{Ay} = I_{0} \cdot 2 \pi RN \cdot B_{r}$,
где $R$ и $N$ - радиус и число витков катушки. При колебаниях катушки ее смещение вдоль оси $OZ$ изменяет поток магнитной индукции и создает ЭДС индукции, которая определяется скоростью изменения потока:
$\mathcal{E} = \left | \frac{ \Delta \Phi }{ \Delta t} \right | = N \pi R^{2} \frac{ \Delta B_{z} }{ \Delta t} = N \pi R^{2} \frac{ \Delta B_{z} }{ \Delta z} v$.
При амплитудном значении скорости $v$ колебаний катушки максимальна и ЭДС:
$v_{0} = 2 \pi \nu A, \mathcal{E} = N \pi R^{2} \frac{ \Delta B_{z} }{ \Delta z} 2 \pi \nu A$.
Теорема Гаусса позволяет установить связь между радиальной составляющей магнитной индукции и быстротой изменения индукции вдоль вертикальной оси. Катушка при колебаниях «вырезает» в пространстве цилиндр радиусом $R$ и высотой $\Delta z$. По теореме Гаусса потоки через торцы и через боковую поверхность этого цилиндра равны:
$\frac{ \Delta B_{z} }{ \Delta z} \Delta z \pi R^{2} = B_{r} 2 \pi R \Delta z$,
откуда
$\frac{ \Delta B_{z}}{ \Delta z} = \frac{2B_{r} }{R}$.
Теперь из выражения для максимальной ЭДС индукции получим
$B_{r} = \frac{ \mathcal{E}_{0}}{4 \pi^{2} RN \nu A }$,
а из условия равновесия катушки найдем
$I_{0} = \frac{mg}{2 \pi R N B_{r} } = \frac{2 \pi mg \nu A}{ \mathcal{E}_{0} } = 0,15 А$.
Важным примером применения закона сохранения потока магнитной индукции является оценка индукционного тока, наводимого внешним магнитным полем в сверхпроводящем контуре. Здесь необходимо учитывать изменения потоков магнитной индукции через площадь сверхпроводящего контура как внешнего поля, так и поля, создаваемого индукционным током. Действительно, изменение потока магнитной индукции через площадь контура порождает в нем ЭДС индукции. А если контур сверхпроводящий, то чем ограничивается возникающий в нем индукционный ток? Оказывается, в таком случае нельзя пренебрегать магнитным потоком поля, созданного этим индукционным током. В соответствии с теоремой Гаусса, алгебраическая сумма потоков магнитной индукции внешнего поля и поля индукционного тока через площадь сверхпроводящего контура остается неизменной. Иначе говоря, изменение потока внешнего поля вызывает такое изменение тока в сверхпроводящем контуре, что создаваемый индукционным током поток магнитной индукции компенсирует это изменение.
