Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14954
2021-03-07 
Парашютист совершает затяжной прыжок - от старта с нулевой начальной скоростью до раскрытия парашюта скорость парашютиста растет, а начиная с некоторого момента становится практически постоянной. Известно, что сила сопротивления $F$, действующая на парашютиста, является степенной функцией его скорости $v$ и характерного размера $r$, а также плотности воздуха $\rho$, т.е. $F = k \cdot \rho^{ \alpha} \cdot v^{ \beta} \cdot r^{ \gamma }$, где $k$ - безразмерный множитель порядка единицы. Оцените установившуюся скорость падения парашютиста.
Решение:
Для определения показателей степени $\alpha, \beta, \gamma$ воспользуемся соображениями размерности. В Международной системе единиц (СИ) размерности физических величин, входящих в формулу для силы сопротивления, таковы: $[F] = \frac{кг \cdot м}{ с^{2} }, [ \rho ] = \frac{кг}{м^{3} }, [v] = \frac{v}{c}, [r] = м$. Тогда, сравнивая размерности левой $\left ( \frac{кг \cdot м}{ с^{2} } \right )$ и правой $\left ( \frac{кг^{ \alpha} }{ м^{3 \alpha } } \frac{ м^{ \beta } }{ с^{ \beta } } м^{ \gamma } \right )$ частей формулы для силы сопротивления, приходим к следующим соотношениям:
$1 = \alpha , 1 = - 3 \alpha + \beta + \gamma , -2 = - \beta $.
Отсюда находим
$\alpha = 1, \beta = 2, \gamma = 2$.
Теперь формула для силы сопротивления принимает такой вид:
$F = k \rho v^{2}r^{2}$.
При движении с установившейся скоростью сила тяжести равна по величине силе сопротивления:
$Mg = k \rho v_{уст}^{2} r^{2}$.
Для численной оценки скорости $v_{уст}$ примем массу парашютиста $M = 100 кг$, плотность воздуха $\rho = 1,3 кг/м^{3}$, квадрат характерного размера $r^{2} = 0,25 м^{2}$. Это приводит к окончательному результату
$v_{уст} = \sqrt{ \frac{Mg}{k \rho r^{2} } } = \sqrt{ \frac{100 \cdot 10}{ 1 \cdot 1,3 \cdot 0,25}} м/с = 55 м/с$,
который хорошо согласуется с опытными данными.
Парашютист совершает затяжной прыжок - от старта с нулевой начальной скоростью до раскрытия парашюта скорость парашютиста растет, а начиная с некоторого момента становится практически постоянной. Известно, что сила сопротивления $F$, действующая на парашютиста, является степенной функцией его скорости $v$ и характерного размера $r$, а также плотности воздуха $\rho$, т.е. $F = k \cdot \rho^{ \alpha} \cdot v^{ \beta} \cdot r^{ \gamma }$, где $k$ - безразмерный множитель порядка единицы. Оцените установившуюся скорость падения парашютиста.
Решение:
Для определения показателей степени $\alpha, \beta, \gamma$ воспользуемся соображениями размерности. В Международной системе единиц (СИ) размерности физических величин, входящих в формулу для силы сопротивления, таковы: $[F] = \frac{кг \cdot м}{ с^{2} }, [ \rho ] = \frac{кг}{м^{3} }, [v] = \frac{v}{c}, [r] = м$. Тогда, сравнивая размерности левой $\left ( \frac{кг \cdot м}{ с^{2} } \right )$ и правой $\left ( \frac{кг^{ \alpha} }{ м^{3 \alpha } } \frac{ м^{ \beta } }{ с^{ \beta } } м^{ \gamma } \right )$ частей формулы для силы сопротивления, приходим к следующим соотношениям:
$1 = \alpha , 1 = - 3 \alpha + \beta + \gamma , -2 = - \beta $.
Отсюда находим
$\alpha = 1, \beta = 2, \gamma = 2$.
Теперь формула для силы сопротивления принимает такой вид:
$F = k \rho v^{2}r^{2}$.
При движении с установившейся скоростью сила тяжести равна по величине силе сопротивления:
$Mg = k \rho v_{уст}^{2} r^{2}$.
Для численной оценки скорости $v_{уст}$ примем массу парашютиста $M = 100 кг$, плотность воздуха $\rho = 1,3 кг/м^{3}$, квадрат характерного размера $r^{2} = 0,25 м^{2}$. Это приводит к окончательному результату
$v_{уст} = \sqrt{ \frac{Mg}{k \rho r^{2} } } = \sqrt{ \frac{100 \cdot 10}{ 1 \cdot 1,3 \cdot 0,25}} м/с = 55 м/с$,
который хорошо согласуется с опытными данными.
