Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1495
2016-11-27 
Цикл, совершаемый некоторой массой идеального одноатомпого газа, состоит из двух изохор и двух изобар. Известно, что наибольшее давление в два раза больше наименьшего, а наибольший объем в четыре раза больше наименьшего в данном процессе. Найти КПД цикла.
Решение:
Изобразим график циклического процесса в координатах Р-V.
По определению, КПД цикла:
$\eta = \frac{A}{Q_{1}}$,
где $Q_{1}$ — подведенное к газу в течение цикла тепло,$A$ — совершенная газом работа в течение цикла. Согласно первому закону термодинамики:
$Q_{1} = \Delta U + A$. (2)
Применяя последнее соотношение для каждого из участков 1-2, 2-3, 3-4, 4-1, убеждаемся, что газ получал тепло от нагревателя только на участках 1-2 и 2-3. Действительно, на участке 1-2 температура газа в 2 раза возросла и стала равна $2 T_{0}$ в соответствии с уравнением Менделеева - Клапейрона (начальную температуру газа мы обозначили через $T_{0}$) и, следовательно, внутренняя энергия увеличилась. Работа на этом участке равна нулю. Таким образом, $Q_{1-2} = \frac{3}{2} \cdot R \nu T_{0} > 0$.
На участке 2-3 объем газа при постоянном давлении возрос в 4 раза и, согласно уравнению Менделеева - Клапейрона, во столько же раз возросла температура ($T_{3} = 8 T_{0}$). При этом внутренняя энергия возросла на величину $U_{2-3} = \frac{3}{2} \cdot \nu R 6 T_{0}$. Работу газа на участке 2-3 можно подсчитать,0 воспользовавшись результатом задачи 1475: $A_{2-3} = \nu R 6 T_{0}$. Таким образом,
$Q_{2-3} = \Delta U_{2-3} + A_{2-3} = 15 \nu RT_{0}$.
Рассуждая аналогично, заключаем, что на участках 3-4 и 4-1 газ тепло отдавал, то есть $Q_{3-4} < 0$ и $Q_{4-1} < 0$. Следовательно:
$Q_{1} = Q_{1-2} + Q_{2-3} = 16,5 \cdot \nu RT_{0}$. (3)
Работа, которую совершил газ в цикле, складывается из работы на участке 2-3 $A_{2-3} = \nu R 6 T_{0}$ (см. выше) и работы на участке 4-1 $A_{4-1} = - \nu RT_{0} 3$ (см. решение задачи 1473) Таким образом,
$A = A_{2-3} + A_{4-1} = \nu 3 RT_{0}$.
Подставляя полученное значение работы $A$ и теплоты $Q_{1}$ из (3) в (1), получаем ответ задачи:
$\eta = \frac{2}{11}$.
Полезно обратить внимание на тот факт, что работа, совершенная газом в замкнутом процессе (цикле), равна площади, ограниченной графиком этого цикла в координатах Р-V. В данной задаче эта работа равна площади прямоугольника 1234, то есть $P_{0} 3V$ или $3 \nu RT_{0}$, что согласуется с полученным в задаче результатом.
Цикл, совершаемый некоторой массой идеального одноатомпого газа, состоит из двух изохор и двух изобар. Известно, что наибольшее давление в два раза больше наименьшего, а наибольший объем в четыре раза больше наименьшего в данном процессе. Найти КПД цикла.
Решение:
Изобразим график циклического процесса в координатах Р-V.
По определению, КПД цикла:
$\eta = \frac{A}{Q_{1}}$,
где $Q_{1}$ — подведенное к газу в течение цикла тепло,$A$ — совершенная газом работа в течение цикла. Согласно первому закону термодинамики:
$Q_{1} = \Delta U + A$. (2)
Применяя последнее соотношение для каждого из участков 1-2, 2-3, 3-4, 4-1, убеждаемся, что газ получал тепло от нагревателя только на участках 1-2 и 2-3. Действительно, на участке 1-2 температура газа в 2 раза возросла и стала равна $2 T_{0}$ в соответствии с уравнением Менделеева - Клапейрона (начальную температуру газа мы обозначили через $T_{0}$) и, следовательно, внутренняя энергия увеличилась. Работа на этом участке равна нулю. Таким образом, $Q_{1-2} = \frac{3}{2} \cdot R \nu T_{0} > 0$.
На участке 2-3 объем газа при постоянном давлении возрос в 4 раза и, согласно уравнению Менделеева - Клапейрона, во столько же раз возросла температура ($T_{3} = 8 T_{0}$). При этом внутренняя энергия возросла на величину $U_{2-3} = \frac{3}{2} \cdot \nu R 6 T_{0}$. Работу газа на участке 2-3 можно подсчитать,0 воспользовавшись результатом задачи 1475: $A_{2-3} = \nu R 6 T_{0}$. Таким образом,
$Q_{2-3} = \Delta U_{2-3} + A_{2-3} = 15 \nu RT_{0}$.
Рассуждая аналогично, заключаем, что на участках 3-4 и 4-1 газ тепло отдавал, то есть $Q_{3-4} < 0$ и $Q_{4-1} < 0$. Следовательно:
$Q_{1} = Q_{1-2} + Q_{2-3} = 16,5 \cdot \nu RT_{0}$. (3)
Работа, которую совершил газ в цикле, складывается из работы на участке 2-3 $A_{2-3} = \nu R 6 T_{0}$ (см. выше) и работы на участке 4-1 $A_{4-1} = - \nu RT_{0} 3$ (см. решение задачи 1473) Таким образом,
$A = A_{2-3} + A_{4-1} = \nu 3 RT_{0}$.
Подставляя полученное значение работы $A$ и теплоты $Q_{1}$ из (3) в (1), получаем ответ задачи:
$\eta = \frac{2}{11}$.
Полезно обратить внимание на тот факт, что работа, совершенная газом в замкнутом процессе (цикле), равна площади, ограниченной графиком этого цикла в координатах Р-V. В данной задаче эта работа равна площади прямоугольника 1234, то есть $P_{0} 3V$ или $3 \nu RT_{0}$, что согласуется с полученным в задаче результатом.
