ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-02-26   
Стеклянная трубка длиной $L_{0}$ наполовину погружена в ртуть. Ее закрывают пальцем и вынимают. При этом часть ртути вытекает. Какова длина столбика ртути, оставшегося в трубке? Атмосферное давление равно $H$ мм. рт. ст.


Решение:



Столб ртути высотой $H$ производит давление, равное:

$p = \frac{mg}{S} = \frac{ \rho gV }{S} = \frac{ \rho gHS}{S}$
$p = \rho gH$

Таким образом, атмосферное давление: $p_{0} = \rho gH$ ($\rho$ - плотность ртути).

В изначальном состоянии воздух в трубке находится под давлением $p_{0}$ и занимает обьем $V_{0} = S \frac{L_{0} }{2}$ ($S$ - сечение трубки). После вытекания ртути обьем воздуха:

$V_{1} = S(L_{0} - L )$;

Найдем давление $p_{1}$ по закону Бойля-Мариотта, считая, что $T = const$: $p_{0}V_{0} = p_{1}V_{1} \Rightarrow p_{1} =p_{0} \frac{V_{0} }{V_{1} } = p_{0} \frac{L_{0} }{2(L_{0} - L ) }$

В состоянии 1 давление, оказываемое воздухом на ртуть $p_{1}$ в сумме с давлением оставшегося ртутного столба равно внешнему атмосферному $p_{0}$:

$p_{1} + \rho gL = p_{0}; \Rightarrow p_{0} \frac{L_{0} }{2(L_{0} - L ) } + \rho gL = p_{0}$
$\rho gH \frac{L_{0} }{2(L_{0} - L ) } + \rho gL = \rho gH; \frac{HL_{0} }{2} + L(L_{0} - L ) - H (L_{0} - L ) = 0$
$L^{2} - L (L_{0} + H ) + \frac{HL_{0} }{2} = 0$

Решая квадратное уравнение, находим $L$: $L = \frac{H + L_{0} - \sqrt{ H^{2} + L_{0}^{2} } }{2}$.