ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-02-20   
Найти зависимость ускорения гармонического колебания $x = x_{0} \sin ( \omega t + \phi_{0})$ от скорости.


Решение:


Найдем зависимость скорости и ускорения тела от времени путем дифференцирования $x(t)$, а затем $v(t)$:

$x(t) = x_{0} \sin ( \omega t + \phi_{0} )$;
$v(t) = \frac{dx}{dt} = x_{0} \omega \cos ( \omega t + \phi_{0} )$; (1)
$a (t) = \frac{dv}{dt} = - x_{0} \omega^{2} \sin ( \omega t + \phi_{0} )$; (2)

Получим из (1) и (2) выражение для $\cos ( \omega t + \phi_{0} )$ и $\sin( \omega t + \phi_{0} )$:

$\begin{cases} \cos ( \omega t + \phi_{0} ) = \frac{v(t)}{x_{0} \omega } \\ \sin ( \omega t + \phi_{0} ) = - \frac{a(t) }{x_{0} \omega^{2} } \end{cases}$

С учетом того, что $\sin^{2} ( \omega t + \phi_{0} ) + \cos^{2}( \omega t + \phi_{0} ) = 1$, получим:

$\frac{v^{2} }{x_{0}^{2} \omega^{2} } + \frac{a^{2} }{x_{0}^{2} \omega^{4} } = 1$;
$\omega^{2}v^{2} + a^{2} = x_{0}^{2} \omega^{4}$;
$a^{2} = \omega^{4} \left ( x_{0}^{2} - \frac{v^{2} }{ \omega^{2} } \right )$;
$a(v) = \omega \sqrt{ \omega^{2} x_{0}^{2} - v^{2} }$;

Заметим, что $v_{0} = \omega x_{0}$, так как $v(0) = v_{0} = x_{0} \omega \cos 0 = x_{0} \omega$:

$a(v) = \omega \sqrt{ v_{0}^{2} - v^{2} }$;