2021-02-18
Однородный диск массы $m = 3 кг$ и радиуса $R = 20 см$ скреплен с тонким стержнем (рис.), другой конец которого прикреплен неподвижно к потолку. Отношение приложенного вращательного момента сил $M$ к углу закручивания $\phi$ у стержня равно $k = 6 Н \cdot м/рад$. Определить частоту $\omega$ малых крутильных колебаний диска.
Решение:
Если повернуть диск на угол $\phi$, то появится возвращающий момент сил $M = - k \phi$ (см.рис.). В соответствии с основным уравнением динамики вращательного движения
$M = I \epsilon = I \ddot{ \phi}$.
Тогда $I \ddot{ \phi } = - k \phi$ или $\ddot{ \phi } + \frac{k}{I} \phi = 0$, где $I = \frac{mR^{2} }{2}$.
В итоге дифференциальное уравнение крутильных колебаний примет вид $\ddot{ \phi } + \frac{2k}{mR^{2} } \phi = 0$, откуда
$\omega^{2} = \frac{2k}{mR^{2} }; \omega = \frac{1}{R} \sqrt{ \frac{2k}{m} } = 10 с^{-1}$