Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14906
2021-02-18 
Частица находится в одномерном потенциальном поле, в котором ее потенциальная энергия $U(x)$ зависит от координаты $x$ по закону $U(x) = U_{0}(1 - \cos ax)$, где $U_{0}, a$ - постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.
Решение:
Консервативная сила и потенциальная энергия связаны соотношением
$F_{x} = - \frac{dU}{dx} = - \frac{d}{dx} [U_{0}(1 - \cos ax)] = - \frac{d}{dx} (U_{0} - U_{0} \cos ax ) = - a U_{0} \sin ax$.
Если колебания малые, то $x$ мало и $\sin ax \approx ax$. Тогда
$F_{x} = - aU_{0} \sin ax = - a^{2}U_{0}x$. С другой стороны, $F_{x} = ma_{x} = m \ddot{x}$.
Следовательно, $- a^{2}U_{0}x = m \ddot{x}$. Тогда $m \ddot{x} + a^{2}U_{0}x = 0$ и $\ddot{x} + \frac{a^{2}U_{0} }{m}x = 0$, где $\frac{a^{2}U_{0} }{m} = \omega_{0}^{2}$. В итоге период равен $T = \frac{2 \pi }{ \omega_{0} } = \frac{2 \pi }{a } \sqrt{ \frac{m}{U_{0} } }$.
Частица находится в одномерном потенциальном поле, в котором ее потенциальная энергия $U(x)$ зависит от координаты $x$ по закону $U(x) = U_{0}(1 - \cos ax)$, где $U_{0}, a$ - постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.
Решение:
Консервативная сила и потенциальная энергия связаны соотношением
$F_{x} = - \frac{dU}{dx} = - \frac{d}{dx} [U_{0}(1 - \cos ax)] = - \frac{d}{dx} (U_{0} - U_{0} \cos ax ) = - a U_{0} \sin ax$.
Если колебания малые, то $x$ мало и $\sin ax \approx ax$. Тогда
$F_{x} = - aU_{0} \sin ax = - a^{2}U_{0}x$. С другой стороны, $F_{x} = ma_{x} = m \ddot{x}$.
Следовательно, $- a^{2}U_{0}x = m \ddot{x}$. Тогда $m \ddot{x} + a^{2}U_{0}x = 0$ и $\ddot{x} + \frac{a^{2}U_{0} }{m}x = 0$, где $\frac{a^{2}U_{0} }{m} = \omega_{0}^{2}$. В итоге период равен $T = \frac{2 \pi }{ \omega_{0} } = \frac{2 \pi }{a } \sqrt{ \frac{m}{U_{0} } }$.
