ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-02-18   
Каким должен быть радиус однородной сферы плотностью $\rho = 5500 кг/м^{3}$, чтобы потенциал ее гравитационного поля в точке, лежащей на поверхности сферы был равен $\phi = 10^{4} Дж/кг$?


Решение:



Найдем напряженность гравитационного поля $E$ в зависимости от $r$ - расстояния от центра сферы - точки O.

Воспользуемься аналогом теоремы Гаусса - Остроградского, выбрав в качестве $S$ сферу радиуса $r$:

$N = \oint_{S} E_{n}dS = \oint_{S} EdS = ES = E \cdot 4 \pi r^{2} = 4 \pi \gamma M$;
$4 \pi r^{2}E = 4 \pi \gamma M \Rightarrow E(r) = \frac{ \gamma M}{r^{2} }$
$E(r) = \gamma \frac{M}{r^{2} } = \frac{4 \pi \rho \gamma R^{3} }{3r^{2} }$;

Найдем зависимость потенциала гравитационного поля $\phi$ от расстояния $r$:

$E = - \frac{d \phi }{dr}$;
$\phi = - \int \frac{4 \pi \rho \gamma R^{3} }{3r^{2} } dr = = \frac{4 \pi \rho \gamma R^{3} }{3r} + C$.

При $r = + \infty \: \phi = 0 \Rightarrow C = 0$

$\phi(r) = \frac{4 \pi \rho \gamma R^{3} }{3r}$;

Точка лежит на поверхности сферы $\Rightarrow r = R$:

$\phi = \frac{4 \pi \rho \gamma R^{3} }{3R} = \frac{4}{3} \pi \rho \gamma R^{2}$
$R = \sqrt{ \frac{3 \phi }{4 \pi \gamma \rho } }$;
$R = \sqrt{ \frac{3 \cdot 10^{4} }{4 \cdot 3,14 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,5 \cdot 10^{3} } } \approx 8,06 \cdot 10^{4} м$.