ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-02-18   
Найти выражение для напряженности поля и силы гравитационного взаимодействия между тонким однородным кольцом радиусом $R$ и массой $M$ и материальной точкой массой $m$, лежащей на высоте $h$ на перпендикуляре к плоскости, восстановленном из центра кольца.


Решение:



Разобьем кольцо на элементарные участки $dr$, каждый массой $dm = m_{0}dr$, где $m_{0} = \frac{m_{к} }{2 \pi r}$; $m_{к}$ - масса кольца.

Элементарная масса $dm$ действует на массу $m$ с силой $dF = \frac{ \gamma mdr \frac{m_{к} }{2 \pi R} }{h^{2} + R^{2} }$;

Очевидно, сумма сил $dF \sin \phi$, с которыми кольцо действует на массу $m$, равна нулю

$\sum^{2 \pi R} dF \sin \phi = 0 \Rightarrow F = \int dF \cos \phi$, где $\cos \phi = \frac{h}{ \sqrt{h^{2} + R^{2} } }$

$F = \int_{0}^{2 \pi R} \frac{ \gamma m m_{к} }{ 2 \pi R (h^{2} + R^{2} ) } \frac{h}{ \sqrt{h^{2} + R^{2} } } dr = \left . \frac{ \gamma mm_{к} h }{2 \pi R (h^{2} + R^{2} )^{3/2} } r \right |_{0}^{2 \pi R} = \frac{ \gamma mm_{к} \cdot 2 \pi R }{2 \pi R (h^{2} + R^{2} )^{3/2} } = \frac{ \gamma mm_{к}h }{ (h^{2} + R^{2} )^{3/2} }$
$E(h) = \frac{F}{m} = \frac{ \gamma m_{к}h }{ (h^{2} + R^{2} )^{3/2} }$