Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14888
2021-02-12 
На горизонтальный диск, вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega_{1}$, падает другой диск, вращающийся вокруг той же оси с угловой скоростью $\omega_{2}$. Моменты инерции дисков относительно указанной оси равны $I_{1}$ и $I_{2}$. Удар абсолютно неупругий. На сколько изменится кинетическая энергия системы после падения второго диска?
Решение:
По закону сохранения момента импульса:
$L_{1} + L_{2} = L_{12}$
$I_{1} \omega_{1} + I_{2} \omega_{2} = (I_{1} + I_{2} ) \omega_{12}$
$\omega_{12} = \frac{I_{1} \omega_{1} + I_{2} \omega_{2} }{I_{1} + I_{2} }$
Кинетическая энергия системы равна:
$E_{кин} = \frac{(I_{1} + I_{2} ) \omega_{12}^{2} }{2} = \frac{(I_{1} \omega_{1} + I_{2} \omega_{2} )^{2} }{2(I_{1} + I_{2} )}$
$\Delta E_{кин} = E_{кин} - E_{1} - E_{2}$;
$E_{1}, E_{2}$ - кинетическая энергия дисков до удара:
$E_{1} = \frac{I_{1} \omega_{1}^{2} }{2}; E_{2} = \frac{I_{2} \omega_{2}^{2} }{2}$
$\Delta E_{кин} = \frac{(I_{1} \omega_{1} + I_{2} \omega_{2} )^{2} }{2(I_{1} + I_{2} )} - \frac{I_{1} \omega_{1}^{2} + I_{2} \omega_{2}^{2} }{2} = \frac{ I_{1}^{2} \omega_{1}^{2} + 2I_{1}I_{2} \omega_{1} \omega_{2} + I_{2}^{2} \omega_{2}^{2} - I_{1}^{2} \omega_{1}^{2} - I_{1}I_{2} \omega_{2}^{2} - I_{1}I_{2} \omega_{1}^{2} - I_{2}^{2} \omega_{2}^{2} }{2(I_{1} + I_{2} )} = \frac{2I_{1}I_{2} \omega_{1}\omega_{2} - I_{1}I_{2} \omega_{1}^{2} - I_{1}I_{2} \omega_{2}^{2} }{2(I_{1} + I_{2} ) } = - \frac{I_{1} + I_{2} }{2 (I_{1} + I_{2} )} ( \omega_{1}^{2} - 2 \omega_{1} \omega_{2} + \omega_{2}^{2} )$
$\Delta E_{кин} = - \frac{I_{1}I_{2}( \omega_{1} - \omega_{2} )^{2} }{2(I_{1} - I_{2} )}$
На горизонтальный диск, вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega_{1}$, падает другой диск, вращающийся вокруг той же оси с угловой скоростью $\omega_{2}$. Моменты инерции дисков относительно указанной оси равны $I_{1}$ и $I_{2}$. Удар абсолютно неупругий. На сколько изменится кинетическая энергия системы после падения второго диска?
Решение:
По закону сохранения момента импульса:
$L_{1} + L_{2} = L_{12}$
$I_{1} \omega_{1} + I_{2} \omega_{2} = (I_{1} + I_{2} ) \omega_{12}$
$\omega_{12} = \frac{I_{1} \omega_{1} + I_{2} \omega_{2} }{I_{1} + I_{2} }$
Кинетическая энергия системы равна:
$E_{кин} = \frac{(I_{1} + I_{2} ) \omega_{12}^{2} }{2} = \frac{(I_{1} \omega_{1} + I_{2} \omega_{2} )^{2} }{2(I_{1} + I_{2} )}$
$\Delta E_{кин} = E_{кин} - E_{1} - E_{2}$;
$E_{1}, E_{2}$ - кинетическая энергия дисков до удара:
$E_{1} = \frac{I_{1} \omega_{1}^{2} }{2}; E_{2} = \frac{I_{2} \omega_{2}^{2} }{2}$
$\Delta E_{кин} = \frac{(I_{1} \omega_{1} + I_{2} \omega_{2} )^{2} }{2(I_{1} + I_{2} )} - \frac{I_{1} \omega_{1}^{2} + I_{2} \omega_{2}^{2} }{2} = \frac{ I_{1}^{2} \omega_{1}^{2} + 2I_{1}I_{2} \omega_{1} \omega_{2} + I_{2}^{2} \omega_{2}^{2} - I_{1}^{2} \omega_{1}^{2} - I_{1}I_{2} \omega_{2}^{2} - I_{1}I_{2} \omega_{1}^{2} - I_{2}^{2} \omega_{2}^{2} }{2(I_{1} + I_{2} )} = \frac{2I_{1}I_{2} \omega_{1}\omega_{2} - I_{1}I_{2} \omega_{1}^{2} - I_{1}I_{2} \omega_{2}^{2} }{2(I_{1} + I_{2} ) } = - \frac{I_{1} + I_{2} }{2 (I_{1} + I_{2} )} ( \omega_{1}^{2} - 2 \omega_{1} \omega_{2} + \omega_{2}^{2} )$
$\Delta E_{кин} = - \frac{I_{1}I_{2}( \omega_{1} - \omega_{2} )^{2} }{2(I_{1} - I_{2} )}$
