ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-02-12   
Вертикально висящая однородная доска длины $L = 1,5 м$ и массой $M = 10 кг$ может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через ее верхний конец. В нижний конец доски ударяет пуля массы $m = 10 г$, летящая горизонтально с начальной скоростью $v_{0} = 600 м/с$, пробивает доску и вылетает со скоростью $v$. Определить скорость $v$, если после удара доска стала колебаться с угловой амплитудой $\alpha = 0,1 рад$.


Решение:



Найдем потенциальную энергию доски в положении максимального отклонения:

$E_{пот} = Mg \Delta h$,

где $\Delta h$ - приращение высоты центра масс стержня:

$\frac{ \frac{L}{2} - \Delta h }{ \frac{L}{2} } = \cos \alpha_{0} \Rightarrow \Delta h = \frac{L}{2} (1 - \cos \alpha_{0} )$
$E_{пот} = Mg \frac{L}{2} ( 1 - \cos \alpha_{0} ) = MgL \sin^{2} \frac{ \alpha_{0} }{2}$;

В вертикальном положении доска обладает только кинетической энергией:

$E_{кин} = \frac{I \omega^{2} }{2}$;

где $I$ - момент инерции доски относительно точки подвеса:

$I = \frac{ML^{2} }{3}$;

Запишем закон сохранения энергии для доски и определим угловую скорость в момент сразу после взаимодействия с пулей:

$MgL \sin^{2} \frac{ \alpha_{0} }{2} = \frac{ML^{2} }{3} \frac{ \omega^{2} }{2}$;
$\omega = \sqrt{ \frac{6g}{L} } \sin \frac{ \alpha_{0} }{2}$;

Запишем закон сохранения момента импульса для взаимодействия пули и доски:

$mv_{0}L = mvL + I \omega$
$v = v_{0} - \frac{I \omega }{mL } = v_{0} - \frac{ML^{2} }{3} \frac{1}{mL} \sqrt{ \frac{6g}{L} } \sin \frac{ \alpha_{0} }{2} = v_{0} - \frac{M}{m} \sqrt{ \frac{2Lg}{3} } \sin \frac{ \alpha_{0} }{2}$;
$v = 600 - \frac{10}{0,01} \sqrt{ \frac{2 \cdot 1,5 \cdot 9,8}{3} } \sin 0,05 \approx 443,5 м/с$